Chapitre X. K-morphismes et groupe de Galois d’une extension
i.e. sΦ(L)s −1 ⊂ Φ(L ). De la même manière, s −1 Φ(L )s ⊂ Φ(L). Donc
Φ(L ) ⊂ sΦ(L)s −1 , d’où l’égalité.
(ii). Soient x ∈ Ψ(H) et t ∈ H. Alors sts −1 (s(x)) = s(t(x)) = s(x). Donc
s(x) ∈ Ψ(H ) et s(Ψ(H)) ⊂ Ψ(H ). D’autre part, soit y ∈ Ψ(H ), i.e.
∀t ∈ H, sts
−1 (y) = y.
On pose x = s −1 (y) ; alors s(t(x)) = y = s(x). Comme s est un isomorphisme,
on en déduit que t(x) = x, d’où y ∈ s(Ψ(H)). On a donc Ψ(H ) ⊂ s(Ψ(H)), d’où
l’égalité.
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