X.4. Corps intermédiaires et sous-groupes du groupe de Galois
X.4.1. Question
Les applications Φ et Ψ sont-elles des applications bijectives, réciproques l’une
de l’autre ?
Les exemples ci-dessous montrent que c’est possible, mais que ce n’est pas
toujours vrai.
Exemples X.4.1.
a) On considère le polynôme f (X) = X 4 − 4X 2 − 5 de Q[X]. On a
f (X) = (X 2 + 1)(X 2 − 5), dont les racines sont i, −i,
√
5, −
√
5 : on se place
donc dans Q(i,
√
5). D’après la décomposition de f (X) donnée ci-dessus, un
Q-automorphisme de Q(i,
√
5) envoie i sur i et
√
5 sur
√
5. Par conséquent, le
groupe Gal(Q(i,
√
5)/Q) a quatre éléments, chaque élément distinct de l’identité
étant d’ordre 2. On a donc Gal(Q(i,
√
5)/Q) Z/2Z × Z/2Z. Notons s 0 = identité, s 1 , s 2 , s 3 les Q-automorphismes définis par s 0 (i) = i, s 0 (
√
5) =
√
5 ; s 1 (i) = i,
s 1 (
√
5) = −
√
5 ; s 2 (i) = −i, s 2 (
√
5) =
√
5 ; s 3 (i) = −i, s 3 (
√
5) = −
√
5.
Les sous-groupes de G = Gal(Q(i,
√
5)/Q) sont H 0 = {s 0 }, H 1 = {s 0 , s 1 },
H 2 = {s 0 , s 2 }, H 3 = {s 0 , s 3 } et G. D’autre part, on vérifiera que les corps intermédiaires sont L 0 = Q(i,
√
5), L 1 = Q(i), L 2 = Q(
√
5), L 3 = Q(i
√
5), L 4 = Q.
Il est facile de vérifier que L j = Q(i,
√
5) H j et Gal(Q(i,
√
5)/Q(i,
√
5) H j ) = H j ,
j = 0, . . . , 4. Par conséquent, pour l’extension Q(i,
√
5)/Q, les applications Φ et
Ψ ci-dessus sont bijectives et réciproques l’une de l’autre.
b) Pour l’extension Q(i,
3
√
2)/Q, on montre que Φ n’est pas injective en vérifiant que Φ(Q(i)) = Φ(Q(i,
3
√
2)) et que Ψ n’est pas surjective, car Q(i) n’est pas
dans l’image de Ψ.
La théorie de Galois (cf. chapitre XIV) montre que, sous certaines hypothèses
sur l’extension E/K, la réponse à la question X.4.1 est positive.
Cependant, en toute généralité, on a les propriétés suivantes.
Proposition X.4.1. Soient E/K une extension et G = Gal(E/K).
(i) Soient L un corps intermédiaire et s un K-automorphisme de E. Alors
Φ(s(L)) = sΦ(L)s −1 .
(ii) Soient H et H deux sous-groupes de G et s ∈ G tels que H = sHs −1 .
Alors Ψ(H ) = s(Ψ(H)).
Démonstration. (i). Posons L = s(L), g ∈ Gal(E/L), y ∈ L . Alors y = s(x), x ∈
L. D’où :
sgs
−1 (y) = sg(x) = s(x) = y,
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X.4.1. Question
Les applications Φ et Ψ sont-elles des applications bijectives, réciproques l’une
de l’autre ?
Les exemples ci-dessous montrent que c’est possible, mais que ce n’est pas
toujours vrai.
Exemples X.4.1.
a) On considère le polynôme f (X) = X 4 − 4X 2 − 5 de Q[X]. On a
f (X) = (X 2 + 1)(X 2 − 5), dont les racines sont i, −i,
√
5, −
√
5 : on se place
donc dans Q(i,
√
5). D’après la décomposition de f (X) donnée ci-dessus, un
Q-automorphisme de Q(i,
√
5) envoie i sur i et
√
5 sur
√
5. Par conséquent, le
groupe Gal(Q(i,
√
5)/Q) a quatre éléments, chaque élément distinct de l’identité
étant d’ordre 2. On a donc Gal(Q(i,
√
5)/Q) Z/2Z × Z/2Z. Notons s 0 = identité, s 1 , s 2 , s 3 les Q-automorphismes définis par s 0 (i) = i, s 0 (
√
5) =
√
5 ; s 1 (i) = i,
s 1 (
√
5) = −
√
5 ; s 2 (i) = −i, s 2 (
√
5) =
√
5 ; s 3 (i) = −i, s 3 (
√
5) = −
√
5.
Les sous-groupes de G = Gal(Q(i,
√
5)/Q) sont H 0 = {s 0 }, H 1 = {s 0 , s 1 },
H 2 = {s 0 , s 2 }, H 3 = {s 0 , s 3 } et G. D’autre part, on vérifiera que les corps intermédiaires sont L 0 = Q(i,
√
5), L 1 = Q(i), L 2 = Q(
√
5), L 3 = Q(i
√
5), L 4 = Q.
Il est facile de vérifier que L j = Q(i,
√
5) H j et Gal(Q(i,
√
5)/Q(i,
√
5) H j ) = H j ,
j = 0, . . . , 4. Par conséquent, pour l’extension Q(i,
√
5)/Q, les applications Φ et
Ψ ci-dessus sont bijectives et réciproques l’une de l’autre.
b) Pour l’extension Q(i,
3
√
2)/Q, on montre que Φ n’est pas injective en vérifiant que Φ(Q(i)) = Φ(Q(i,
3
√
2)) et que Ψ n’est pas surjective, car Q(i) n’est pas
dans l’image de Ψ.
La théorie de Galois (cf. chapitre XIV) montre que, sous certaines hypothèses
sur l’extension E/K, la réponse à la question X.4.1 est positive.
Cependant, en toute généralité, on a les propriétés suivantes.
Proposition X.4.1. Soient E/K une extension et G = Gal(E/K).
(i) Soient L un corps intermédiaire et s un K-automorphisme de E. Alors
Φ(s(L)) = sΦ(L)s −1 .
(ii) Soient H et H deux sous-groupes de G et s ∈ G tels que H = sHs −1 .
Alors Ψ(H ) = s(Ψ(H)).
Démonstration. (i). Posons L = s(L), g ∈ Gal(E/L), y ∈ L . Alors y = s(x), x ∈
L. D’où :
sgs
−1 (y) = sg(x) = s(x) = y,
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