Chapitre X. K-morphismes et groupe de Galois d’une extension
d’où :
x 1 u 1 + . . . + x r u r = 0,
avec u 1 , . . . , u r non tous nuls. C’est en contradiction avec le fait que {x 1 , . . . , x n+1 }
est libre sur K 0 . D’où [K : K 0 ] = n =| G |.
Corollaire X.3.1. Soient E/K une extension finie et H un sous-groupe fini de
Gal(E/K). Alors [E H : K] = [E : K]/|H|.
Démonstration. On a :
[E
H : K] = [E : K]/[E : E
H ] = [E : K]/ | H | .
Exercice X.2. Soient K un corps de caratéristique nulle et K(X) le corps de
fractions rationnelles à coefficients dans K. Montrer que le groupe de Galois
G = Gal(K(X)/K) est infini et que le corps des invariants de G est K.
X.4. Corps intermédiaires et sous-groupes du groupe
de Galois
Soient K un corps, E/K une extension et G = Gal(E/K).
Soit L un corps intermédiaire entre K et E, K ⊂ L ⊂ E. On lui
associe G(L) = Gal(E/L). Puisque tout L-automorphisme de E est un Kautomorphisme, il est clair que G(L) est un sous-groupe de G. De plus, si L
est un autre corps intermédiaire, tel que L ⊂ L , alors G(L) ⊃ G(L ).
Soit H un sous-groupe de G. Il est clair que E H contient K, donc E H est un
corps intermédiaire, K ⊂ E H ⊂ E. De plus, si H est un autre sous-groupe de G,
tel que H ⊂ H , alors E H ⊃ E H .
En résumé, si on note K(E/K) l’ensemble des corps intermédiaires entre K
et E, et G(G) l’ensemble des sous-groupes de G, on a deux applications décroissantes (pour la relation d’ordre définie par l’inclusion)
Φ : K(E/K) −→ G(G),
L −→ Gal(E/L)
Ψ : G(G) −→ K(E/K),
H −→ E
H .
De plus, pour tout L ∈ K(E/K) et tout H ∈ G(G), on a
L ⊂ E
Gal(E/L) et H ⊂ Gal(E/E
H ).
Autrement dit, on a L ⊂ Ψ ◦ Φ(L) et H ⊂ Φ ◦ Ψ(H).
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