X.3. Degré d’une extension et ordre du groupe de Galois
Théorème X.3.2. Soient K un corps, G un sous-groupe fini du groupe des automorphismes de K, K 0 le corps des invariants de G. Alors K/K 0 est une extension
telle que [K : K 0 ] = |G|.
Démonstration. Soit n l’ordre de G et notons G = {g 1 = 1, g 2 , . . . , g n }. Supposons
que [K : K 0 ] = m < n et soit {x 1 , . . . , x m } une base de K sur K 0 . Le système
d’équations g 1 (x j )y 1 + . . . + g n (x j )y n = 0, j = 1, . . . , m, ayant plus d’inconnues
que d’équations, a une solution z 1 , . . . , z n dans K, les z i , i = 1, . . . , n étant non
tous nuls. On obtient donc une combinaison linéaire des g i , 1 i n, nulle sur la
base. On en déduit que la famille g i , i = 1, . . . , n, de morphismes distincts de K
dans K est liée, ce qui est en contradiction avec le théorème (X.3.1). D’où m n.
Supposons que la dimension du K 0 -espace vectoriel K soit strictement supérieure à n. Il existe une famille {x 1 , . . . , x n+1 } d’éléments de K, libre sur K 0 . Pour
les mêmes raisons que ci-dessus le système d’équations
g j (x 1 )y 1 + . . . + g j (x n+1 )y n+1 = 0, j = 1, . . . , n
admet une solution non triviale (z 1 , . . . , z n+1 ). On peut supposer que z 1 , . . . , z r
sont non nuls, z r+1 = . . . = z n+1 = 0, et que r est minimal pour cette propriété.
On a alors
g j (x 1 )z 1 + . . . + g j (x r )z r = 0, j = 1, . . . , n.
(X.1)
Soit g un élément de G. On a :
gg j (x 1 )g(z 1 ) + . . . + gg j (x r )g(z r ) = 0, j = 1, . . . , n.
Mais, si j varie de 1 à n, les éléments gg j parcourent G et le système ci-dessus
s’écrit
g j (x 1 )g(z 1 ) + . . . + g j (x r )g(z r ) = 0, j = 1, . . . , n.
(X.2)
D’où, en multipliant (X.1) par g(z 1 ) et (X.2) par z 1 , on obtient par soustraction,
g j (x 2 )(z 2 g(z 1 ) − g(z 2 )z 1 ) + . . . + g j (x r )(z r g(z 1 ) − g(z r )z 1 ) = 0.
Ceci est un système d’équations analogue à (X.1), avec un nombre de termes
strictement inférieur à r. Tous les coefficients sont donc nuls, ce qui est équivalent à
∀g ∈ G, ∀i = 1, . . . , r, z i z
−1
1 = g(z i z
−1
1 ),
et donc, z i z
−1
1 appartient à K 0 . Autrement dit, il existe u 1 , . . . , u r dans K 0 et k
dans K tels que z i = ku i , i = 1, . . . , r. D’où, pour j = 1, on tire de (X.1) que :
x 1 ku 1 + . . . + x r ku r = 0,
267
Théorème X.3.2. Soient K un corps, G un sous-groupe fini du groupe des automorphismes de K, K 0 le corps des invariants de G. Alors K/K 0 est une extension
telle que [K : K 0 ] = |G|.
Démonstration. Soit n l’ordre de G et notons G = {g 1 = 1, g 2 , . . . , g n }. Supposons
que [K : K 0 ] = m < n et soit {x 1 , . . . , x m } une base de K sur K 0 . Le système
d’équations g 1 (x j )y 1 + . . . + g n (x j )y n = 0, j = 1, . . . , m, ayant plus d’inconnues
que d’équations, a une solution z 1 , . . . , z n dans K, les z i , i = 1, . . . , n étant non
tous nuls. On obtient donc une combinaison linéaire des g i , 1 i n, nulle sur la
base. On en déduit que la famille g i , i = 1, . . . , n, de morphismes distincts de K
dans K est liée, ce qui est en contradiction avec le théorème (X.3.1). D’où m n.
Supposons que la dimension du K 0 -espace vectoriel K soit strictement supérieure à n. Il existe une famille {x 1 , . . . , x n+1 } d’éléments de K, libre sur K 0 . Pour
les mêmes raisons que ci-dessus le système d’équations
g j (x 1 )y 1 + . . . + g j (x n+1 )y n+1 = 0, j = 1, . . . , n
admet une solution non triviale (z 1 , . . . , z n+1 ). On peut supposer que z 1 , . . . , z r
sont non nuls, z r+1 = . . . = z n+1 = 0, et que r est minimal pour cette propriété.
On a alors
g j (x 1 )z 1 + . . . + g j (x r )z r = 0, j = 1, . . . , n.
(X.1)
Soit g un élément de G. On a :
gg j (x 1 )g(z 1 ) + . . . + gg j (x r )g(z r ) = 0, j = 1, . . . , n.
Mais, si j varie de 1 à n, les éléments gg j parcourent G et le système ci-dessus
s’écrit
g j (x 1 )g(z 1 ) + . . . + g j (x r )g(z r ) = 0, j = 1, . . . , n.
(X.2)
D’où, en multipliant (X.1) par g(z 1 ) et (X.2) par z 1 , on obtient par soustraction,
g j (x 2 )(z 2 g(z 1 ) − g(z 2 )z 1 ) + . . . + g j (x r )(z r g(z 1 ) − g(z r )z 1 ) = 0.
Ceci est un système d’équations analogue à (X.1), avec un nombre de termes
strictement inférieur à r. Tous les coefficients sont donc nuls, ce qui est équivalent à
∀g ∈ G, ∀i = 1, . . . , r, z i z
−1
1 = g(z i z
−1
1 ),
et donc, z i z
−1
1 appartient à K 0 . Autrement dit, il existe u 1 , . . . , u r dans K 0 et k
dans K tels que z i = ku i , i = 1, . . . , r. D’où, pour j = 1, on tire de (X.1) que :
x 1 ku 1 + . . . + x r ku r = 0,
267