Chapitre X. K-morphismes et groupe de Galois d’une extension
3. Montrer que
n1 Q(2 1/n ) est une extension de Q et que
Gal
⎛
⎝
n1
Q(2
1/n )/Q
⎞
⎠ = {id}.
(Indication : on pourra commencer par étudier le cas Q(2 1/n )/Q.)
X.3. Degré d’une extension et ordre du groupe
de Galois
Théorème X.3.1. Soient K et L deux corps. Toute famille de morphismes de corps
de K dans L, distincts deux à deux, est linéairement libre sur L.
Démonstration. Il suffit de montrer que pour toute famille finie u 1 , ..., u n de morphismes distincts deux à deux, l’égalité
n
i=1
λ i u i = 0, λ i ∈ L, implique λ i = 0,
i = 1, . . . , n. Considérons une expression
n
i=1
λ i u i = 0 telle que tous les λ i soient
non nuls et que n soit minimal pour cette propriété. Puisque u 1 = u n , il existe
y = 0 ∈ K tel que u 1 (y) = u n (y). Alors :
∀x ∈ K, 0 =
n
i=1
λ i u i (xy) =
n
i=1
λ i u i (x)u i (y).
On en déduit que :
0 = u 1 (y)
n
i=1
λ i u i (x) −
n
i=1
λ i u i (x)u i (y) =
n
i=2
λ i (u i (x)u 1 (y) − u i (x)u i (y)).
Dans cette expression, le coefficient de u n (x) est λ n (u 1 (y) − u n (y)), qui est non
nul. D’où la contradiction avec la minimalité de n.
Proposition - Définition X.3.1. Soient E un corps et G un groupe d’automorphismes
de E. L’ensemble E G des éléments de E invariants sous l’action de G,
E
G = {x ∈ E, ∀s ∈ G, s(x) = x}
est un sous-corps de E, appelé le corps des invariants de G. On note aussi ce
corps Inv(G).
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