X.2. Groupe de Galois
Démonstration. Il est très facile de vérifier que l’ensemble Aut(E) des automorphismes de corps de E est un groupe pour la composition des applications. On
vérifie que l’ensemble des K-automorphismes de E est un sous-groupe de Aut(E).
Pour cette raison, dans la suite de ce livre, nous écrirons les compositions de
K-automorphismes d’une extension de K sous forme de produit, en omettant le
signe de composition.
Définition X.2.1. Si E/K est une extension, on note Gal(E/K) le groupe (pour
la composition des applications) des K-automorphismes de E et on l’appelle
le groupe de Galois de l’extension E/K.
Exemples X.2.1.
a) Les R-automorphismes de C sont l’identité ou la conjugaison complexe,
d’où Gal(C/R) Z/2Z.
b) On pose α =
3
√
2 (i.e. α ∈ R, α 3 = 2). Alors un Q-automorphisme s
de Q(α) vérifie s(α) 3 = s(α 3 ) = s(2) = 2, donc s est l’identité de Q(α). On a
Gal(Q(
3
√
2)/Q) = {1}.
c) On pose α = e 2iπ/5 : un Q-automorphisme s de Q(α) vérifie s(α) 5 = s(α 5 ) =
s(1) = 1, donc s(α) est une racine cinquième de l’unité, s(α) = α, α 2 , α 3 , α 4 (on
ne peut avoir s(α) = 1). Si on note s i le Q-automorphisme de Q(α) engendré par
s i (α) = α i , i = 1, 2, 3, 4, et si on note x = a + bα + cα 2 + dα 3 + eα 4 un élément
générique de Q(α) (cette écriture sera rigoureusement justifiée au chapitre XI),
on a
s 1 (x) = x,
s 2 (x) = a + dα + bα 2 + eα 3 + cα 4 ,
s 3 (x) = a + cα + eα 2 + bα 3 + dα 4 ,
s 4 (x) = a + eα 4 + dα 2 + cα 3 + bα 4 .
En écrivant la table de composition de ces éléments, on voit que
Gal(Q(α)/Q) Z/4Z (engendré par s 2 ).
Exercice X.1.
1. Soient K un corps et P son sous-corps premier. Montrer que Gal(K/P ) =
Aut(K).
2. Montrer que Gal(R/Q) = {1}. (Indication : utiliser le fait que tout nombre
réel positif est un carré dans R.)
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Démonstration. Il est très facile de vérifier que l’ensemble Aut(E) des automorphismes de corps de E est un groupe pour la composition des applications. On
vérifie que l’ensemble des K-automorphismes de E est un sous-groupe de Aut(E).
Pour cette raison, dans la suite de ce livre, nous écrirons les compositions de
K-automorphismes d’une extension de K sous forme de produit, en omettant le
signe de composition.
Définition X.2.1. Si E/K est une extension, on note Gal(E/K) le groupe (pour
la composition des applications) des K-automorphismes de E et on l’appelle
le groupe de Galois de l’extension E/K.
Exemples X.2.1.
a) Les R-automorphismes de C sont l’identité ou la conjugaison complexe,
d’où Gal(C/R) Z/2Z.
b) On pose α =
3
√
2 (i.e. α ∈ R, α 3 = 2). Alors un Q-automorphisme s
de Q(α) vérifie s(α) 3 = s(α 3 ) = s(2) = 2, donc s est l’identité de Q(α). On a
Gal(Q(
3
√
2)/Q) = {1}.
c) On pose α = e 2iπ/5 : un Q-automorphisme s de Q(α) vérifie s(α) 5 = s(α 5 ) =
s(1) = 1, donc s(α) est une racine cinquième de l’unité, s(α) = α, α 2 , α 3 , α 4 (on
ne peut avoir s(α) = 1). Si on note s i le Q-automorphisme de Q(α) engendré par
s i (α) = α i , i = 1, 2, 3, 4, et si on note x = a + bα + cα 2 + dα 3 + eα 4 un élément
générique de Q(α) (cette écriture sera rigoureusement justifiée au chapitre XI),
on a
s 1 (x) = x,
s 2 (x) = a + dα + bα 2 + eα 3 + cα 4 ,
s 3 (x) = a + cα + eα 2 + bα 3 + dα 4 ,
s 4 (x) = a + eα 4 + dα 2 + cα 3 + bα 4 .
En écrivant la table de composition de ces éléments, on voit que
Gal(Q(α)/Q) Z/4Z (engendré par s 2 ).
Exercice X.1.
1. Soient K un corps et P son sous-corps premier. Montrer que Gal(K/P ) =
Aut(K).
2. Montrer que Gal(R/Q) = {1}. (Indication : utiliser le fait que tout nombre
réel positif est un carré dans R.)
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