Chapitre X. K-morphismes et groupe de Galois d’une extension
Exemples X.1.1.
a) La conjugaison complexe est un R-automorphisme de C.
b) L’application σ : Q(
√
2) −→ Q(
√
2) définie par σ(a + b
√
2) = a − b
√
2 est
un Q-automorphisme de Q(
√
2).
Remarques X.1.1.
a) Si E/K et F/K sont des extensions, un K-morphisme de E dans F est
un morphisme de K-algèbres. En particulier, c’est un morphisme de K-espaces
vectoriels.
b) Nous avons rappelé (exercice VIII.7) qu’un morphisme de corps est toujours
injectif. Il est donc bijectif si et seulement s’il est surjectif.
c) Soient E/K et F/K des extensions, f un K-morphisme de E dans F , alors
f (E) est un sous-corps de F isomorphe à E. On peut donc considérer que F est
une extension de E.
d) Si E/K est une extension finie, tout K-endomorphisme de E est un
K-automorphisme, puisque c’est un endomorphisme injectif d’un espace vectoriel de dimension finie.
e) Si E = K(a) (ou, plus généralement, E = K(a 1 , . . . , a n )), tout
K-morphisme f de E dans une extension F/K est entièrement déterminé par
la donnée de f (a) (ou, plus généralement, par la donnée de f (a 1 ), . . . , f(a n )). (Le
justifier en utilisant le fait que tout élément de K(a) est une fraction rationnelle
en a et que f est injectif.)
f) Soient E/K une extension et P (X) ∈ K[X] un polynôme dont les racines
sont dans E. Si f est un K-endomorphisme de E et si a ∈ E est une racine de
P (X), il est clair, puisque f laisse invariant les coefficients de P (X), que f (a) est
aussi racine de P (X). Autrement dit, dans cette situation, tout K-automorphisme
de E opère sur les racines de P (X) comme une permutation. Par conséquent, si
E = K(a 1 , . . . , a n ), où a 1 , . . . , a n sont les racines d’un polynôme P (X) ∈ K[X],
d’après la remarque précédente, tout K-automorphisme de E peut être identifié
à un élément du groupe S n .
X.2. Groupe de Galois
Proposition X.2.1. Soit E/K une extension. L’ensemble des K-automorphismes de
E est un groupe pour la composition des applications.
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Exemples X.1.1.
a) La conjugaison complexe est un R-automorphisme de C.
b) L’application σ : Q(
√
2) −→ Q(
√
2) définie par σ(a + b
√
2) = a − b
√
2 est
un Q-automorphisme de Q(
√
2).
Remarques X.1.1.
a) Si E/K et F/K sont des extensions, un K-morphisme de E dans F est
un morphisme de K-algèbres. En particulier, c’est un morphisme de K-espaces
vectoriels.
b) Nous avons rappelé (exercice VIII.7) qu’un morphisme de corps est toujours
injectif. Il est donc bijectif si et seulement s’il est surjectif.
c) Soient E/K et F/K des extensions, f un K-morphisme de E dans F , alors
f (E) est un sous-corps de F isomorphe à E. On peut donc considérer que F est
une extension de E.
d) Si E/K est une extension finie, tout K-endomorphisme de E est un
K-automorphisme, puisque c’est un endomorphisme injectif d’un espace vectoriel de dimension finie.
e) Si E = K(a) (ou, plus généralement, E = K(a 1 , . . . , a n )), tout
K-morphisme f de E dans une extension F/K est entièrement déterminé par
la donnée de f (a) (ou, plus généralement, par la donnée de f (a 1 ), . . . , f(a n )). (Le
justifier en utilisant le fait que tout élément de K(a) est une fraction rationnelle
en a et que f est injectif.)
f) Soient E/K une extension et P (X) ∈ K[X] un polynôme dont les racines
sont dans E. Si f est un K-endomorphisme de E et si a ∈ E est une racine de
P (X), il est clair, puisque f laisse invariant les coefficients de P (X), que f (a) est
aussi racine de P (X). Autrement dit, dans cette situation, tout K-automorphisme
de E opère sur les racines de P (X) comme une permutation. Par conséquent, si
E = K(a 1 , . . . , a n ), où a 1 , . . . , a n sont les racines d’un polynôme P (X) ∈ K[X],
d’après la remarque précédente, tout K-automorphisme de E peut être identifié
à un élément du groupe S n .
X.2. Groupe de Galois
Proposition X.2.1. Soit E/K une extension. L’ensemble des K-automorphismes de
E est un groupe pour la composition des applications.
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