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K-MORPHISMES ET GROUPE DE GALOIS
D’UNE EXTENSION
L’idée fondamentale et profonde de Galois a été d’associer à chaque équation f (X) = 0, où f (X) ∈ K[X], un groupe dont la structure permet de décider de la résolubilité par radicaux, ou non, de l’équation. Les éléments de ce
groupe permutent les racines de l’équation en laissant invariants les coefficients.
Cette construction peut être généralisée à n’importe quelle extension L/K : c’est
la notion de K-automorphisme de L, qui conduit au groupe de Galois de
l’extension.
Cette notion est si importante – par exemple par les relations qu’elle donne
entre le degré de l’extension et l’ordre du groupe de Galois, ou encore celles
qu’elle induit entre les corps intermédiaires de l’extension et les sous-groupes
du groupe de Galois – que nous lui consacrons un chapitre, si court soit-il. Nous
la suivrons tout au long des chapitres suivants et nous verrons comment des
propriétés supplémentaires sur les extensions se traduisent au niveau de l’action
du groupe de Galois.
X.1. K-morphismes
Définitions X.1.1. Soient E/K et F/K des extensions.
a) On appelle K-morphisme de E dans F , un morphisme de corps
f : E −→ F qui prolonge l’identité de K (i.e. f |K = id K ).
b) Un K-morphisme bijectif est un K-isomorphisme.
c) Un K-morphisme de E dans lui-même est un K-endomorphisme de E.
d) Un K-endomorphisme bijectif est un K-automorphisme.