Algèbre T1
Quaternions et groupe orthogonal
On s’intéresse maintenant à l’action de H × sur H par automorphismes intérieurs : autrement dit, on s’intéresse aux applications φ q : H → H, h → qhq −1 ,
où q appartient à H × .
6. Écrire une procédure phi:=proc(q,h) renvoyant φ q (h) (et un message d’erreur si q = 0). Vérifier avec Maple (à l’aide de la commande subs) que
φ q | R = Id R et que E est laissé stable par φ q . En comparant T r(φ q (h)) et
T r(h), retrouver au papier-crayon cette dernière assertion.
7. Démontrer que ρ : q → φ q | E définit un morphisme ρ : H × → O 3 (R) de
noyau R × . Déterminer le sous-espace des points fixes de ρ(q) = φ q | E . En
déduire que ρ(q) est une rotation d’axe Ru, où l’on a posé q = (r, u), et
d’angle θ q que l’on déterminera plus loin en fonction de q.
Écrire la matrice de ρ(q) dans la base (i, j, k). Vérifier avec Maple
qu’il s’agit bien d’une matrice orthogonale de déterminant 1. On posera
q:=[r,] et l’on travaillera dans Q[r, a, b, c].
8. Déterminer une base orthonormée directe B = (u 1 , u 2 , u 3 ) de E dont le
premier vecteur est u 1 =
u
u . Enfin, donner la matrice M q de ρ(q) dans la
nouvelle base B. On effectuera les calculs avec Maple en notant qu’il s’agit
d’un changement de base dans un K-espace vectoriel, où K est une extension
de corps de Q(r, a, b, c) obtenue en « rajoutant » u =
√
a 2 + b 2 + c 2 et
une seconde racine pour la construction de u 2 . Ce changement de base a-t-il
toujours un sens dans le R-espace E ?
9. Soit q =
q
√
N (q)
; que dire de φ q et φ q ? En déduire que l’on peut supposer
N (q) = 1. Sous cette hypothèse, vérifier que la matrice M q se réécrit :
M q =
1
0
0
0 2r 2 −1 −2r
√
1−r 2
0 2r
√
1−r 2
2r 2 −1
.
En déduire que cos θ q = 2r 2 − 1 et sin θ q = 2r
√
1 − r 2 . Posant r = cos t
et u = sin t, quelle relation lie t et θ q ? Si l’on choisit d’effectuer la substitution r = cos t et les simplifications d’expressions trigonométriques avec
Maple, il est utile d’indiquer au système de calcul formel que t ∈ [0, π] avec
la commande assume(t>=0,t<=Pi). Finalement, démontrer que les groupes
H × /R × et SO 3 (R) sont isomorphes.
10. Caractériser la rotation ρ 1 = ρ(j). Réciproquement, déterminer q 2 tel que
ρ 2 = ρ(q 2 ) soit une rotation d’angle
π
2 et d’axe R(i + j). Enfin, caractériser
la composée ρ 1 ◦ ρ 2 .
262
Quaternions et groupe orthogonal
On s’intéresse maintenant à l’action de H × sur H par automorphismes intérieurs : autrement dit, on s’intéresse aux applications φ q : H → H, h → qhq −1 ,
où q appartient à H × .
6. Écrire une procédure phi:=proc(q,h) renvoyant φ q (h) (et un message d’erreur si q = 0). Vérifier avec Maple (à l’aide de la commande subs) que
φ q | R = Id R et que E est laissé stable par φ q . En comparant T r(φ q (h)) et
T r(h), retrouver au papier-crayon cette dernière assertion.
7. Démontrer que ρ : q → φ q | E définit un morphisme ρ : H × → O 3 (R) de
noyau R × . Déterminer le sous-espace des points fixes de ρ(q) = φ q | E . En
déduire que ρ(q) est une rotation d’axe Ru, où l’on a posé q = (r, u), et
d’angle θ q que l’on déterminera plus loin en fonction de q.
Écrire la matrice de ρ(q) dans la base (i, j, k). Vérifier avec Maple
qu’il s’agit bien d’une matrice orthogonale de déterminant 1. On posera
q:=[r,
8. Déterminer une base orthonormée directe B = (u 1 , u 2 , u 3 ) de E dont le
premier vecteur est u 1 =
u
u . Enfin, donner la matrice M q de ρ(q) dans la
nouvelle base B. On effectuera les calculs avec Maple en notant qu’il s’agit
d’un changement de base dans un K-espace vectoriel, où K est une extension
de corps de Q(r, a, b, c) obtenue en « rajoutant » u =
√
a 2 + b 2 + c 2 et
une seconde racine pour la construction de u 2 . Ce changement de base a-t-il
toujours un sens dans le R-espace E ?
9. Soit q =
q
√
N (q)
; que dire de φ q et φ q ? En déduire que l’on peut supposer
N (q) = 1. Sous cette hypothèse, vérifier que la matrice M q se réécrit :
M q =
1
0
0
0 2r 2 −1 −2r
√
1−r 2
0 2r
√
1−r 2
2r 2 −1
.
En déduire que cos θ q = 2r 2 − 1 et sin θ q = 2r
√
1 − r 2 . Posant r = cos t
et u = sin t, quelle relation lie t et θ q ? Si l’on choisit d’effectuer la substitution r = cos t et les simplifications d’expressions trigonométriques avec
Maple, il est utile d’indiquer au système de calcul formel que t ∈ [0, π] avec
la commande assume(t>=0,t<=Pi). Finalement, démontrer que les groupes
H × /R × et SO 3 (R) sont isomorphes.
10. Caractériser la rotation ρ 1 = ρ(j). Réciproquement, déterminer q 2 tel que
ρ 2 = ρ(q 2 ) soit une rotation d’angle
π
2 et d’axe R(i + j). Enfin, caractériser
la composée ρ 1 ◦ ρ 2 .
262