Travaux pratiques
Structure algébrique de H
1. Écrire des fonctions Hadd(q1,q2), Hscal(lambda,q) et Hmul(q1,q2) calculant
respectivement q 1 + q 2 , λq et q 1 .q 2 (où q, q 1 , q 2 ∈ H et λ ∈ R). Tester sur
des exemples de votre choix. Quels axiomes de la structure de R-algèbre sont
vérifiés par H de façon évidente ? En fait, seule l’associativité du produit pose
quelques difficultés que nous surmonterons plus loin.
2. Écrire une fonction egal?(q1,q2) renvoyant true ou false selon que q 1 = q 2
ou non. Notant e = 1, la structure multiplicative sur la R-algèbre H est donc
définie par les produits de deux éléments de la base (e, i, j, k) de H (par linéarité). Vérifier que e est l’unité de H et que les relations suivantes sont vérifiées :
i 2 = j 2 = k 2 = −e, i.j = −j.i = k, j.k = −k.j = i, k.i = −i.k = j.
3. On désire démontrer que le produit des quaternions est associatif. Pour
cela, on utilise des variables formelles et l’on définit des quaternions
qi:=[ri,] pour i = 1, 2, 3. Mathématiquement, ce sont trois éléments de H(Q[r i , x i , y i , z i ; 1 i 3]), où, pour tout anneau commutatif A,
H(A) désigne le A-module libre A 4 de base (e, i, j, k) muni d’une structure de
A-algèbre par les relations de la question précédente. Calculer res 1 = q 1 .(q 2 .q 3 )
et res 2 = (q 1 .q 2 ).q 3 . Que donne egal?(res1,res2) ? Réitérer après mise
sous forme normale. Cela démontre l’associativité de la multiplication dans
˜
H = H(Q[r i , x i , y i , z i ; 1 i 3]), donc dans H = H(R) après application du
morphisme d’évaluation ˜
H → H en un 12-uplet de réels quelconques.
Pour s’entraîner à ce type de raisonnement, démontrer formellement la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition.
4. En exploitant l’analogie avec les complexes, où l’inverse s’exprime z −1 =
¯
z
|z| 2 ,
démontrer que tout quaternion q non nul est inversible pour la multiplication :
H est donc un corps non commutatif. Puis écrire des fonctions Conj, N et Inv
renvoyant respectivement le conjugué, la norme, et l’inverse d’un quaternion.
Noter que la conjugaison est un anti-automorphisme de H (i.e. elle est Rlinéaire et vérifie (q 1 q 2 ) ∗ = q ∗
2 q ∗
1 ) et que la norme N : H × →]0, +∞[ est un
morphisme de groupes.
5. On s’intéresse au groupe non abélien (H × , ·). Soit q un quaternion fixé ; déterminer le centralisateur Z q de q, c’est-à-dire le sous-groupe de H × constitué des
quaternions h qui commutent avec q ? Quel est le centre Z de H × , c’est-à-dire
le sous-groupe constitué des quaternions qui commutent avec tous les éléments
de H × ?
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Structure algébrique de H
1. Écrire des fonctions Hadd(q1,q2), Hscal(lambda,q) et Hmul(q1,q2) calculant
respectivement q 1 + q 2 , λq et q 1 .q 2 (où q, q 1 , q 2 ∈ H et λ ∈ R). Tester sur
des exemples de votre choix. Quels axiomes de la structure de R-algèbre sont
vérifiés par H de façon évidente ? En fait, seule l’associativité du produit pose
quelques difficultés que nous surmonterons plus loin.
2. Écrire une fonction egal?(q1,q2) renvoyant true ou false selon que q 1 = q 2
ou non. Notant e = 1, la structure multiplicative sur la R-algèbre H est donc
définie par les produits de deux éléments de la base (e, i, j, k) de H (par linéarité). Vérifier que e est l’unité de H et que les relations suivantes sont vérifiées :
i 2 = j 2 = k 2 = −e, i.j = −j.i = k, j.k = −k.j = i, k.i = −i.k = j.
3. On désire démontrer que le produit des quaternions est associatif. Pour
cela, on utilise des variables formelles et l’on définit des quaternions
qi:=[ri,
H(A) désigne le A-module libre A 4 de base (e, i, j, k) muni d’une structure de
A-algèbre par les relations de la question précédente. Calculer res 1 = q 1 .(q 2 .q 3 )
et res 2 = (q 1 .q 2 ).q 3 . Que donne egal?(res1,res2) ? Réitérer après mise
sous forme normale. Cela démontre l’associativité de la multiplication dans
˜
H = H(Q[r i , x i , y i , z i ; 1 i 3]), donc dans H = H(R) après application du
morphisme d’évaluation ˜
H → H en un 12-uplet de réels quelconques.
Pour s’entraîner à ce type de raisonnement, démontrer formellement la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition.
4. En exploitant l’analogie avec les complexes, où l’inverse s’exprime z −1 =
¯
z
|z| 2 ,
démontrer que tout quaternion q non nul est inversible pour la multiplication :
H est donc un corps non commutatif. Puis écrire des fonctions Conj, N et Inv
renvoyant respectivement le conjugué, la norme, et l’inverse d’un quaternion.
Noter que la conjugaison est un anti-automorphisme de H (i.e. elle est Rlinéaire et vérifie (q 1 q 2 ) ∗ = q ∗
2 q ∗
1 ) et que la norme N : H × →]0, +∞[ est un
morphisme de groupes.
5. On s’intéresse au groupe non abélien (H × , ·). Soit q un quaternion fixé ; déterminer le centralisateur Z q de q, c’est-à-dire le sous-groupe de H × constitué des
quaternions h qui commutent avec q ? Quel est le centre Z de H × , c’est-à-dire
le sous-groupe constitué des quaternions qui commutent avec tous les éléments
de H × ?
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