XI.2. Extensions transcendantes
Proposition XI.2.1. Soit K un corps. Le corps des fractions rationnelles K(X) est
une extension transcendante sur K.
Démonstration. Le seul polynôme de K[X] annulé par X est le polynôme nul.
Définition XI.2.2. Soit E/K une extension. Une famille d’éléments (α i ) i∈I est
dite algébriquement libre sur K si l’idéal des relations algébriques entre les
α i à coefficients dans K (i.e. le noyau du morphisme K[X i ] i∈I −→ K(α i ) i∈I
défini par X i → α i , i ∈ I) est nul. Si une famille d’éléments de E n’est pas
algébriquement libre sur K, on dit qu’elle est algébriquement liée.
Remarques XI.2.2.
a) La famille (α i ) i∈I est algébriquement libre sur K si et seulement si les
monômes
i α
n i
i sont linéairement indépendants sur K, ou encore, si et seulement
si la relation f (α i ) = 0, où f ∈ K[X i ] i∈I , entraîne f = 0.
b) On en déduit que, pour qu’une famille (α i ) i∈I d’éléments de E soit algébriquement libre sur K, il faut et il suffit que toute sous-famille finie soit algébriquement libre sur K.
c) Il est clair que si (α i ) i∈I est une famille d’éléments de E algébriquement
libre sur K, elle est linéairement libre sur K. La réciproque est fausse, car si
E/K est une extension algébrique, toute famille non vide (y compris une famille
linéairement libre) n’est jamais algébriquement libre, puisque tout élément de
cette famille possède un polynôme minimal.
Définitions XI.2.3. Une extension E/K est dite extension transcendante
pure de K s’il existe une famille (α i ) i∈I d’éléments de E, algébriquement
libre sur K et telle que E = K(α i ) i∈I . Une telle famille est appelée base pure
de E sur K.
Théorème XI.2.1. Pour qu’une extension E/K soit transcendante pure, de base
pure (α i ) i∈I , il faut et il suffit que E soit isomorphe au corps K(X i ) i∈I des fractions rationnelles sur K.
Démonstration. Si I = ∅, K est une extension transcendante pure de K. Si I = ∅,
alors ϕ : K[X i ] i∈I → K[α i ] i∈I définie par f → f (α i ) est un isomorphisme, car
surjective par définition de K[α i ] i∈I et injective puisque les (α i ) i∈I sont algébriquement libres. La propriété universelle du corps des fractions d’un anneau
intègre (cf. exercice VIII.12) montre que le corps des fractions de K[α i ] i∈I est
E = K(α i ) i∈I , d’où K(α i ) i∈I K(X i ) i∈I . La réciproque est évidente.
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Proposition XI.2.1. Soit K un corps. Le corps des fractions rationnelles K(X) est
une extension transcendante sur K.
Démonstration. Le seul polynôme de K[X] annulé par X est le polynôme nul.
Définition XI.2.2. Soit E/K une extension. Une famille d’éléments (α i ) i∈I est
dite algébriquement libre sur K si l’idéal des relations algébriques entre les
α i à coefficients dans K (i.e. le noyau du morphisme K[X i ] i∈I −→ K(α i ) i∈I
défini par X i → α i , i ∈ I) est nul. Si une famille d’éléments de E n’est pas
algébriquement libre sur K, on dit qu’elle est algébriquement liée.
Remarques XI.2.2.
a) La famille (α i ) i∈I est algébriquement libre sur K si et seulement si les
monômes
i α
n i
i sont linéairement indépendants sur K, ou encore, si et seulement
si la relation f (α i ) = 0, où f ∈ K[X i ] i∈I , entraîne f = 0.
b) On en déduit que, pour qu’une famille (α i ) i∈I d’éléments de E soit algébriquement libre sur K, il faut et il suffit que toute sous-famille finie soit algébriquement libre sur K.
c) Il est clair que si (α i ) i∈I est une famille d’éléments de E algébriquement
libre sur K, elle est linéairement libre sur K. La réciproque est fausse, car si
E/K est une extension algébrique, toute famille non vide (y compris une famille
linéairement libre) n’est jamais algébriquement libre, puisque tout élément de
cette famille possède un polynôme minimal.
Définitions XI.2.3. Une extension E/K est dite extension transcendante
pure de K s’il existe une famille (α i ) i∈I d’éléments de E, algébriquement
libre sur K et telle que E = K(α i ) i∈I . Une telle famille est appelée base pure
de E sur K.
Théorème XI.2.1. Pour qu’une extension E/K soit transcendante pure, de base
pure (α i ) i∈I , il faut et il suffit que E soit isomorphe au corps K(X i ) i∈I des fractions rationnelles sur K.
Démonstration. Si I = ∅, K est une extension transcendante pure de K. Si I = ∅,
alors ϕ : K[X i ] i∈I → K[α i ] i∈I définie par f → f (α i ) est un isomorphisme, car
surjective par définition de K[α i ] i∈I et injective puisque les (α i ) i∈I sont algébriquement libres. La propriété universelle du corps des fractions d’un anneau
intègre (cf. exercice VIII.12) montre que le corps des fractions de K[α i ] i∈I est
E = K(α i ) i∈I , d’où K(α i ) i∈I K(X i ) i∈I . La réciproque est évidente.
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