Algèbre T1
Dans la définition des quaternions, on peut remplacer R par un anneau commutatif A quelconque. Le A-module libre A 4 , dont on note {e, i, j, k} la base
canonique, est muni d’une structure de A-algèbre par les mêmes opérations que
ci-dessus. On note H(A) cette A-algèbre. Il est clair que les notions de conjugué,
quaternion pur, norme, définies ci-dessus ont encore un sens dans ce cadre et que
pour tout élément z ∈ H(A), on a N (z) ∈ A. On en déduit, comme à la question 3,
que l’ensemble des éléments de A qui sont sommes de quatre carrés est stable par
multiplication. Par conséquent, en prenant A = Z, pour démontrer le théorème
des quatre carrés, il suffira de prouver que tout nombre premier est somme de
quatre carrés.
Nous allons étudier H(Q) et son sous-anneau (non commutatif) H(Z). On note
H l’ensemble des éléments z ∈ H(Q), z = ae + bi + cj + dk, avec (a, b, c, d) ∈ Z 4 ou
(a, b, c, d) ∈ (
1
2 + Z) 4 . On appelle les éléments de H les quaternions d’Hurwitz.
13. Montrer que H est un sous-anneau de H(Q) qui contient H(Z) et qui est stable
par passage au conjugué.
14. Montrer que pour tout z ∈ H, on a z + z ∈ Z et N (z) ∈ Z.
15. Montrer que pour que z ∈ H soit inversible, il faut et il suffit que N (z) = 1.
16. Montrer que pour tout z ∈ H(Q), il existe x ∈ H tel que N (x − z) < 1
(inégalité stricte). (Soit z = ae + bi + cj + dk ; il existe (a , b , c , d ) ∈ Z 4 tels que
|a − a |
1
2 , |b − b |
1
2 , |c − c |
1
2 , |d − d |
1
2 . Prendre x = a e + b i + c j + d k.)
Pour un anneau non commutatif A, un sous-groupe abélien I de (A, +) est un
idéal à gauche (resp. à droite, resp. bilatère) si
∀a ∈ A, ∀x ∈ I, ax ∈ I, (resp. xa ∈ I), (resp. ∀a, b ∈ A, ∀x ∈ I, axb ∈ I).
Évidemment, si A est un anneau commutatif, ces trois notions coïcident avec celle
d’idéal.
17. Montrer que tout idéal à gauche (resp. à droite) de H est principal, i.e. de
la forme Hz (resp. zH). (Soit a un idéal non nul de H : montrer qu’il existe un
élément u ∈ a de norme minimale. Montrer que u est inversible. Soient z ∈ a et
zu −1 : d’après le résultat de la question 16, il existe x ∈ H tel que N (zu −1 −x) < 1.
Montrer que z = xu.)
Nous allons maintenant démontrer le théorème des quatre carrés pour un
nombre premier p. Le théorème est évident si p = 2. On peut donc supposer que
p est impair.
18. Montrer que Hp est un idéal bilatère de H et que l’anneau quotient H/Hp
est isomorphe à H(F p ).
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Dans la définition des quaternions, on peut remplacer R par un anneau commutatif A quelconque. Le A-module libre A 4 , dont on note {e, i, j, k} la base
canonique, est muni d’une structure de A-algèbre par les mêmes opérations que
ci-dessus. On note H(A) cette A-algèbre. Il est clair que les notions de conjugué,
quaternion pur, norme, définies ci-dessus ont encore un sens dans ce cadre et que
pour tout élément z ∈ H(A), on a N (z) ∈ A. On en déduit, comme à la question 3,
que l’ensemble des éléments de A qui sont sommes de quatre carrés est stable par
multiplication. Par conséquent, en prenant A = Z, pour démontrer le théorème
des quatre carrés, il suffira de prouver que tout nombre premier est somme de
quatre carrés.
Nous allons étudier H(Q) et son sous-anneau (non commutatif) H(Z). On note
H l’ensemble des éléments z ∈ H(Q), z = ae + bi + cj + dk, avec (a, b, c, d) ∈ Z 4 ou
(a, b, c, d) ∈ (
1
2 + Z) 4 . On appelle les éléments de H les quaternions d’Hurwitz.
13. Montrer que H est un sous-anneau de H(Q) qui contient H(Z) et qui est stable
par passage au conjugué.
14. Montrer que pour tout z ∈ H, on a z + z ∈ Z et N (z) ∈ Z.
15. Montrer que pour que z ∈ H soit inversible, il faut et il suffit que N (z) = 1.
16. Montrer que pour tout z ∈ H(Q), il existe x ∈ H tel que N (x − z) < 1
(inégalité stricte). (Soit z = ae + bi + cj + dk ; il existe (a , b , c , d ) ∈ Z 4 tels que
|a − a |
1
2 , |b − b |
1
2 , |c − c |
1
2 , |d − d |
1
2 . Prendre x = a e + b i + c j + d k.)
Pour un anneau non commutatif A, un sous-groupe abélien I de (A, +) est un
idéal à gauche (resp. à droite, resp. bilatère) si
∀a ∈ A, ∀x ∈ I, ax ∈ I, (resp. xa ∈ I), (resp. ∀a, b ∈ A, ∀x ∈ I, axb ∈ I).
Évidemment, si A est un anneau commutatif, ces trois notions coïcident avec celle
d’idéal.
17. Montrer que tout idéal à gauche (resp. à droite) de H est principal, i.e. de
la forme Hz (resp. zH). (Soit a un idéal non nul de H : montrer qu’il existe un
élément u ∈ a de norme minimale. Montrer que u est inversible. Soient z ∈ a et
zu −1 : d’après le résultat de la question 16, il existe x ∈ H tel que N (zu −1 −x) < 1.
Montrer que z = xu.)
Nous allons maintenant démontrer le théorème des quatre carrés pour un
nombre premier p. Le théorème est évident si p = 2. On peut donc supposer que
p est impair.
18. Montrer que Hp est un idéal bilatère de H et que l’anneau quotient H/Hp
est isomorphe à H(F p ).
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