Thèmes de réflexion
19. Montrer qu’il existe un élément non trivial (a, b, c, d) ∈ F 4
p tel que
a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 0. (En prenant c = 1 et d = 0, il suffit de montrer que l’équation b 2 + 1 = −a 2 a une solution dans F 2
p . En utilisant le TR.IX.A.10, montrer
que l’ensemble des éléments de F p de la forme b 2 + 1 (resp. −a 2 ) est de cardinal
p+1
2 . Puisque
p+1
2 +
p+1
2 > p, en déduire le résultat.)
On en déduit qu’il existe dans H(F p ) des éléments non nuls dont la norme est
nulle. D’après la question 15, un tel élément n’est pas inversible, il engendre donc
un idéal à gauche non trivial.
20. En déduire qu’il existe deux éléments non inversibles z, z ∈ H tels que p = zz
et que N (z) = N (z ) = p.
Si z (ou z ) est un élément de H dont tous les coefficients sont dans Z, le
théorème est démontré. Supposons que z (et z ) ont leurs coefficients dans
1
2 + Z.
21. Montrer qu’il existe un élément u ∈ H tel que N (u) = 1 et zu ∈ H(Z).
(Le conjugué de la classe de 2z dans H(Z)/4H(Z) H(Z/4Z) est la classe d’un
quaternion x dont les coefficients sont tous 1. Prendre u =
1
2 x.)
On en déduit que p = N (zu), avec zu ∈ H(Z), est la somme de quatre carrés
dans Z, donc dans N.
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