Thèmes de réflexion
Soit z = ae + bi + cj + dk un quaternion ; le quaternion conjugué de z est
z = ae−bi−cj−dk. La norme de z est le nombre réel N (z) = zz = a 2 +b 2 +c 2 +d 2 .
3. Montrer que pour tous quaternions z, z , on a N (zz ) = N (z)N (z ). En déduire
que l’ensemble des éléments de R qui sont sommes de quatre carrés est stable par
multiplication.
4. Montrer que tout quaternion non nul z admet pour inverse N (z) −1 z. En déduire
que H est un corps non commutatif.
5. Soit z un quaternion pur. Montrer que N (z) = 1 si et seulement si z 2 = −1.
Deux quaternions purs z = bi + cj + dk et z = b i + c j + d k sont dits
orthogonaux si bb +cc +dd = 0. Autrement dit, les vecteurs (b, c, d) et (b , c , d )
de R 3 sont orthogonaux pour le produit scalaire usuel de R 3 .
6. Soient z et z deux quaternions purs orthogonaux. Montrer que zz est un
quaternion pur orthogonal à z et z .
7. Soit 1 un quaternion pur de norme 1. Montrer qu’il existe un quaternion pur
2 orthogonal à 1 et de norme 1.
8. On pose 3 = 1 2 . Montrer que ( 1 , , 2 , , 3 ) est une base de H p .
Pour α ∈ R et z ∈ H p , on pose
u α (z) = (cos(α/2) + 1 sin(α/2))z(cos(α/2) − 1 sin(α/2)).
9. Montrer que u α est une application R-linéaire de H p dans H p .
10. Calculer les coordonnées de u α (z) en fonction des coordonnées de z dans la
base ( 1 , , 2 , , 3 ).
11. Interpréter u α comme la rotation d’angle α et de vecteur directeur 1 .
12. Pour un quaternion z = ae + bi + cj + dk, on note v(z) le vecteur (b, c, d)
de R 3 et on écrit z = ae + v(z). Calculer le produit (ae + v(z))(a e + v(z )) en
fonction de a, a , v(z), v(z ), du produit scalaire et du produit vectoriel de v(z) et
v(z ).
Si A est un anneau commutatif, un A-module E est la donnée d’un groupe
abélien (E, +) muni d’une opération externe A × E −→ E, ces deux lois satisfaisant aux mêmes axiomes que ceux d’espace vectoriel. L’une des différences
fondamentales avec la structure d’espace vectoriel est qu’un A-module E ne possède pas nécessairement de base. S’il en possède une (on dit alors que E est un
A-module libre), tout élément de E s’écrit, de manière unique, comme combinaison linéaire finie d’éléments de la base, à coefficients dans A.
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Soit z = ae + bi + cj + dk un quaternion ; le quaternion conjugué de z est
z = ae−bi−cj−dk. La norme de z est le nombre réel N (z) = zz = a 2 +b 2 +c 2 +d 2 .
3. Montrer que pour tous quaternions z, z , on a N (zz ) = N (z)N (z ). En déduire
que l’ensemble des éléments de R qui sont sommes de quatre carrés est stable par
multiplication.
4. Montrer que tout quaternion non nul z admet pour inverse N (z) −1 z. En déduire
que H est un corps non commutatif.
5. Soit z un quaternion pur. Montrer que N (z) = 1 si et seulement si z 2 = −1.
Deux quaternions purs z = bi + cj + dk et z = b i + c j + d k sont dits
orthogonaux si bb +cc +dd = 0. Autrement dit, les vecteurs (b, c, d) et (b , c , d )
de R 3 sont orthogonaux pour le produit scalaire usuel de R 3 .
6. Soient z et z deux quaternions purs orthogonaux. Montrer que zz est un
quaternion pur orthogonal à z et z .
7. Soit 1 un quaternion pur de norme 1. Montrer qu’il existe un quaternion pur
2 orthogonal à 1 et de norme 1.
8. On pose 3 = 1 2 . Montrer que ( 1 , , 2 , , 3 ) est une base de H p .
Pour α ∈ R et z ∈ H p , on pose
u α (z) = (cos(α/2) + 1 sin(α/2))z(cos(α/2) − 1 sin(α/2)).
9. Montrer que u α est une application R-linéaire de H p dans H p .
10. Calculer les coordonnées de u α (z) en fonction des coordonnées de z dans la
base ( 1 , , 2 , , 3 ).
11. Interpréter u α comme la rotation d’angle α et de vecteur directeur 1 .
12. Pour un quaternion z = ae + bi + cj + dk, on note v(z) le vecteur (b, c, d)
de R 3 et on écrit z = ae + v(z). Calculer le produit (ae + v(z))(a e + v(z )) en
fonction de a, a , v(z), v(z ), du produit scalaire et du produit vectoriel de v(z) et
v(z ).
Si A est un anneau commutatif, un A-module E est la donnée d’un groupe
abélien (E, +) muni d’une opération externe A × E −→ E, ces deux lois satisfaisant aux mêmes axiomes que ceux d’espace vectoriel. L’une des différences
fondamentales avec la structure d’espace vectoriel est qu’un A-module E ne possède pas nécessairement de base. S’il en possède une (on dit alors que E est un
A-module libre), tout élément de E s’écrit, de manière unique, comme combinaison linéaire finie d’éléments de la base, à coefficients dans A.
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