Algèbre T1
8. Montrer que si K est un corps fini, F est un automorphisme.
9. En déduire que dans un corps fini de caractéristique p, chaque élément admet
une et une seule racine p-ième.
Nous allons maintenant donner quelques propriétés des ensembles
F
2
q = {x ∈ F q |∃y ∈ F q , x = y
2
}, F
∗2
q = F
2
q ∩ F
∗
q ,
i.e. des éléments qui sont des carrés dans un corps fini, avec q = p n , p premier.
10. Montrer que si p = 2, alors F 2
q = F q et que si p > 2, alors on a |F ∗2
q | =
q−1
2 et
|F 2
q | =
q+1
2 . (Utiliser la suite exacte 1 −→ {−1, 1} −→ F ∗
q −→ F ∗2
q −→ 1. Pour la
définition de suite exacte, cf. TR.IV.C.)
11. Montrer que si p > 2, alors x ∈ F ∗2
q est équivalent à x
q−1
2
= 1.
12. En déduire que, si p > 2, −1 ∈ F ∗2
q est équivalent à q ≡ 1 mod(4).
♠ TR.IX.B. Corps des quaternions et théorème
des quatre carrés
Ce livre est consacré à l’étude des corps commutatifs. Cependant il existe des
corps non commutatifs (i.e. la multiplication n’est pas commutative) qui, d’après
le théorème de Wedderburn (cf. chapitre XV), sont nécessairement infinis. Nous
allons étudier ici le plus classique d’entre eux, le corps des quaternions.
De plus, cette étude nous permettra de démontrer le théorème suivant :
Théorème (des quatre carrés). Tout nombre entier naturel est somme de quatre carrés de nombres entiers naturels.
On désigne par H l’espace vectoriel R 4 , dont on note {e, i, j, k} la base canonique, muni de la structure de R-algèbre définie, par linéarité, à partir de la table
de multiplication suivante :
ee = e, ei = ie = i, ej = je = j, ek = ke = k, i
2 = j
2 = k
2 = −e,
ij = −ji = k, jk = −kj = i, ki = −ik = j.
1. Vérifier que la multiplication ainsi définie sur H est associative.
Un élément de H est appelé un quaternion. Il s’écrit, de manière unique,
ae + bi + cj + dk, avec a, b, c, d ∈ R. Un tel quaternion avec a = 0 est appelé un
quaternion pur. On note H p l’ensemble des quaternions purs.
2. Vérifier que H p est un R-espace vectoriel.
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8. Montrer que si K est un corps fini, F est un automorphisme.
9. En déduire que dans un corps fini de caractéristique p, chaque élément admet
une et une seule racine p-ième.
Nous allons maintenant donner quelques propriétés des ensembles
F
2
q = {x ∈ F q |∃y ∈ F q , x = y
2
}, F
∗2
q = F
2
q ∩ F
∗
q ,
i.e. des éléments qui sont des carrés dans un corps fini, avec q = p n , p premier.
10. Montrer que si p = 2, alors F 2
q = F q et que si p > 2, alors on a |F ∗2
q | =
q−1
2 et
|F 2
q | =
q+1
2 . (Utiliser la suite exacte 1 −→ {−1, 1} −→ F ∗
q −→ F ∗2
q −→ 1. Pour la
définition de suite exacte, cf. TR.IV.C.)
11. Montrer que si p > 2, alors x ∈ F ∗2
q est équivalent à x
q−1
2
= 1.
12. En déduire que, si p > 2, −1 ∈ F ∗2
q est équivalent à q ≡ 1 mod(4).
♠ TR.IX.B. Corps des quaternions et théorème
des quatre carrés
Ce livre est consacré à l’étude des corps commutatifs. Cependant il existe des
corps non commutatifs (i.e. la multiplication n’est pas commutative) qui, d’après
le théorème de Wedderburn (cf. chapitre XV), sont nécessairement infinis. Nous
allons étudier ici le plus classique d’entre eux, le corps des quaternions.
De plus, cette étude nous permettra de démontrer le théorème suivant :
Théorème (des quatre carrés). Tout nombre entier naturel est somme de quatre carrés de nombres entiers naturels.
On désigne par H l’espace vectoriel R 4 , dont on note {e, i, j, k} la base canonique, muni de la structure de R-algèbre définie, par linéarité, à partir de la table
de multiplication suivante :
ee = e, ei = ie = i, ej = je = j, ek = ke = k, i
2 = j
2 = k
2 = −e,
ij = −ji = k, jk = −kj = i, ki = −ik = j.
1. Vérifier que la multiplication ainsi définie sur H est associative.
Un élément de H est appelé un quaternion. Il s’écrit, de manière unique,
ae + bi + cj + dk, avec a, b, c, d ∈ R. Un tel quaternion avec a = 0 est appelé un
quaternion pur. On note H p l’ensemble des quaternions purs.
2. Vérifier que H p est un R-espace vectoriel.
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