THÈMES DE RÉFLEXION
♥ TR.IX.A. Corps finis
Les corps finis seront étudiés en détail au chapitre XV. Nous allons ici établir
quelques propriétés élémentaires, mais fondamentales.
Nous allons d’abord montrer la propriété suivante :
Soient K un corps et K ∗ le groupe multiplicatif des éléments non nuls de K ;
tout sous-groupe fini G de K ∗ est cyclique, formé de racines de l’unité (cf. XV.1).
On rappelle (exercice VI.6) qu’il existe un élément x de G dont l’ordre n est
le ppcm des ordres des éléments de G.
1. En déduire que |G| n, donc que G = {1, x, . . . , x n−1 }.
Dans la suite, F est un corps fini à q éléments, de caractéristique p > 0. Son
sous-corps premier est donc F p = Z/pZ.
2. Montrer qu’il existe un entier n 1 tel que q = p n .
3. Montrer que le groupe F ∗ est cyclique, d’ordre q − 1.
4. En déduire que pour tout x de F ∗ , on a x q−1 = 1 et, pour tout x de F , on a
x q = x.
5. Soit α un générateur de F ∗ ; montrer que F = F p (α) et que
F = F p 1 ⊕ F p α ⊕ · · · ⊕ F p α
n−1
avec n = [F : F p ].
On considère maintenant un corps K de caractéristique p > 0 et F : K −→ K
le morphisme de Frobenius, F(x) = x p . D’après la proposition (IX.1.3), c’est un
endomorphisme de K.
6. Montrer que sa restriction à F p est l’identité.
7. En déduire que pour tout entier n ∈ Z, on a n p ≡ n mod(p).