Chapitre IX. Généralités sur les extensions de corps
Définition IX.2.4.
a) Avec les notations ci-dessus, les éléments de A sont appelés des générateurs de K(A) sur K.
b) On dit qu’une extension E/K est de type fini si elle possède un système
fini de générateurs.
c) On dit qu’une extension E/K est monogène si elle possède un système
de générateurs réduit à un élément. Cet élément est alors appelé primitif.
Remarque IX.2.2. Une extension finie est de type fini. Mais la réciproque est fausse.
Par exemple, le corps K(X) des fractions rationnelles à coefficients dans K est une
extension de type fini de K, mais n’est pas une extension finie. Plus généralement,
cf. remarque (XI.2.1). Par contre, on a le résultat suivant :
Proposition IX.2.3. Si E/K est une extension telle que [E : K] soit un nombre
premier, alors l’extension est monogène.
Démonstration. Soit α ∈ E \ K ; alors K(α) est un corps intermédiaire entre K
et E. D’après la remarque (IX.2.1), on a K(α) = K ou K(α) = E. Mais puisque
l’élément α n’est pas dans K, on ne peut avoir K(α) = K. On en déduit que
K(α) = E.
On remarque donc que si E/K est une extension telle que [E : K] soit un
nombre premier, tout élément de E \ K est primitif.
Exercice IX.4. Soient K un corps et L/K une extension. Montrer que si E 1 et E 2
sont deux corps intermédiaires, K ⊂ E i ⊂ L, i = 1, 2, il existe un corps intermédiaire maximal parmi ceux contenus dans E 1 et E 2 et un corps intermédiaire
minimal parmi ceux contenant E 1 et E 2 . (On montrera que ce sont, respectivement, E 1 ∩ E 2 et K(E 1 ∪ E 2 ).)
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Définition IX.2.4.
a) Avec les notations ci-dessus, les éléments de A sont appelés des générateurs de K(A) sur K.
b) On dit qu’une extension E/K est de type fini si elle possède un système
fini de générateurs.
c) On dit qu’une extension E/K est monogène si elle possède un système
de générateurs réduit à un élément. Cet élément est alors appelé primitif.
Remarque IX.2.2. Une extension finie est de type fini. Mais la réciproque est fausse.
Par exemple, le corps K(X) des fractions rationnelles à coefficients dans K est une
extension de type fini de K, mais n’est pas une extension finie. Plus généralement,
cf. remarque (XI.2.1). Par contre, on a le résultat suivant :
Proposition IX.2.3. Si E/K est une extension telle que [E : K] soit un nombre
premier, alors l’extension est monogène.
Démonstration. Soit α ∈ E \ K ; alors K(α) est un corps intermédiaire entre K
et E. D’après la remarque (IX.2.1), on a K(α) = K ou K(α) = E. Mais puisque
l’élément α n’est pas dans K, on ne peut avoir K(α) = K. On en déduit que
K(α) = E.
On remarque donc que si E/K est une extension telle que [E : K] soit un
nombre premier, tout élément de E \ K est primitif.
Exercice IX.4. Soient K un corps et L/K une extension. Montrer que si E 1 et E 2
sont deux corps intermédiaires, K ⊂ E i ⊂ L, i = 1, 2, il existe un corps intermédiaire maximal parmi ceux contenus dans E 1 et E 2 et un corps intermédiaire
minimal parmi ceux contenant E 1 et E 2 . (On montrera que ce sont, respectivement, E 1 ∩ E 2 et K(E 1 ∪ E 2 ).)
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