IX.2. Extensions
Démonstration. Soient (e i ) i∈I une K-base de E et (f j ) j∈J une E-base de F . On
vérifie qu’alors (e i f j ) (i,j)∈I×J est une K-base de F .
Corollaire IX.2.1. Si F/K est une extension finie et si E est un corps tel que
K ⊂ E ⊂ F , alors [E : K] et [F : E] sont des diviseurs de [F : K].
Remarque IX.2.1. On en déduit que si F/K est une extension finie telle que [F : K]
soit un nombre premier, il ne peut exister de corps intermédiaire entre K et F .
Attention. On prendra garde au fait que si [F : K] n’est pas premier, il n’existe
pas nécessairement de corps intermédiaire entre K et F . On trouvera un exemple
de cette situation à l’exercice XVI.2 du chapitre XVI.
Exercice IX.2. Soient E/K une extension de degré fini et F 1 , F 2 des corps intermédiaires, K ⊂ F i ⊂ E, i = 1, 2. Montrer que si les nombres [F 1 : K] et [F 2 : K]
sont premiers entre eux, alors F 1 ∩ F 2 = K.
Définition - Proposition IX.2.2. Soient E un corps et Y un sous-ensemble de E. Le
sous-corps de E engendré par Y est le plus petit sous-corps de E contenant Y .
C’est l’intersection de tous les sous-corps de E contenant Y .
Définition IX.2.3. Soient E/K une extension et A un sous-ensemble de E. Le
sous-corps de E engendré par K ∪ A est dit obtenu par adjonction de A à K
et est noté K(A).
Exemple IX.2.3. Si E = R, K = Q, A = {
√
2}, alors K(A) = Q(
√
2).
Exercice IX.3. Avec les notations ci-dessus, montrer que K(A) est le corps des
fractions de la sous-algèbre K[A] de E, engendrée par K et A. (Indication : on
rappelle que, en posant A = {a i } i∈I , K[A] est l’anneau des polynômes en les
indéterminées a i , i ∈ I (TR.VIII.D), et utiliser la propriété universelle du corps
des fractions d’un anneau intègre, cf. VIII.5.)
241
Démonstration. Soient (e i ) i∈I une K-base de E et (f j ) j∈J une E-base de F . On
vérifie qu’alors (e i f j ) (i,j)∈I×J est une K-base de F .
Corollaire IX.2.1. Si F/K est une extension finie et si E est un corps tel que
K ⊂ E ⊂ F , alors [E : K] et [F : E] sont des diviseurs de [F : K].
Remarque IX.2.1. On en déduit que si F/K est une extension finie telle que [F : K]
soit un nombre premier, il ne peut exister de corps intermédiaire entre K et F .
Attention. On prendra garde au fait que si [F : K] n’est pas premier, il n’existe
pas nécessairement de corps intermédiaire entre K et F . On trouvera un exemple
de cette situation à l’exercice XVI.2 du chapitre XVI.
Exercice IX.2. Soient E/K une extension de degré fini et F 1 , F 2 des corps intermédiaires, K ⊂ F i ⊂ E, i = 1, 2. Montrer que si les nombres [F 1 : K] et [F 2 : K]
sont premiers entre eux, alors F 1 ∩ F 2 = K.
Définition - Proposition IX.2.2. Soient E un corps et Y un sous-ensemble de E. Le
sous-corps de E engendré par Y est le plus petit sous-corps de E contenant Y .
C’est l’intersection de tous les sous-corps de E contenant Y .
Définition IX.2.3. Soient E/K une extension et A un sous-ensemble de E. Le
sous-corps de E engendré par K ∪ A est dit obtenu par adjonction de A à K
et est noté K(A).
Exemple IX.2.3. Si E = R, K = Q, A = {
√
2}, alors K(A) = Q(
√
2).
Exercice IX.3. Avec les notations ci-dessus, montrer que K(A) est le corps des
fractions de la sous-algèbre K[A] de E, engendrée par K et A. (Indication : on
rappelle que, en posant A = {a i } i∈I , K[A] est l’anneau des polynômes en les
indéterminées a i , i ∈ I (TR.VIII.D), et utiliser la propriété universelle du corps
des fractions d’un anneau intègre, cf. VIII.5.)
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