Chapitre IX. Généralités sur les extensions de corps
qu’une extension d’un corps K est la donnée d’un corps E contenant K comme
sous-corps.
Notation. Une extension E de K sera notée E/K, ou K ⊂ E, ou K K→ E.
Exemples IX.2.1.
a) Le corps des nombres complexes C est une extension du corps des nombres
réels R.
b) C et R sont des extensions de Q. Plus généralement, tout corps est une
extension de son sous-corps premier.
c) E = Q(
√
2) = {a + b
√
2 | a, b ∈ Q} est une extension de Q.
d) Pour tout corps K, le corps K(X) des fractions rationnelles à coefficients
dans K est une extension de K.
Soit E une extension d’un corps K. Il est clair que les opérations de E induisent
sur E une structure de K-espace vectoriel. Plus précisément, E est une K-algèbre
(cf. TR.VIII.D).
Définition IX.2.2. Si E/K est une extension, on appelle degré de cette extension la dimension du K-espace vectoriel E. Si dim K E = +∞, on dit que E
est une extension infinie de K ; si dim K E est finie, on dit que E est une
extension finie de K et on pose [E : K] = dim K E.
Exemples IX.2.2.
a) Si E/K est une extension telle que [E : K] = 1, alors E = K.
b) [C : R] = 2.
c) R est une extension infinie de Q, puisque Q est dénombrable et que R ne
l’est pas.
Exercice IX.1. Soient K un corps et A un anneau intègre contenant K, de dimension finie en tant que K-espace vectoriel. Montrer que A est un corps. (On
montrera que, pour tout élément non nul a ∈ A, la multiplication par a est une
application K-linéaire bijective de A dans A et on en déduira que a est inversible
dans A.)
Proposition IX.2.1. Soient E/K et F/E des extensions. Si l’un des nombres [F : K]
ou [F : E][E : K] est fini, il en est de même pour l’autre et ils sont égaux.
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qu’une extension d’un corps K est la donnée d’un corps E contenant K comme
sous-corps.
Notation. Une extension E de K sera notée E/K, ou K ⊂ E, ou K K→ E.
Exemples IX.2.1.
a) Le corps des nombres complexes C est une extension du corps des nombres
réels R.
b) C et R sont des extensions de Q. Plus généralement, tout corps est une
extension de son sous-corps premier.
c) E = Q(
√
2) = {a + b
√
2 | a, b ∈ Q} est une extension de Q.
d) Pour tout corps K, le corps K(X) des fractions rationnelles à coefficients
dans K est une extension de K.
Soit E une extension d’un corps K. Il est clair que les opérations de E induisent
sur E une structure de K-espace vectoriel. Plus précisément, E est une K-algèbre
(cf. TR.VIII.D).
Définition IX.2.2. Si E/K est une extension, on appelle degré de cette extension la dimension du K-espace vectoriel E. Si dim K E = +∞, on dit que E
est une extension infinie de K ; si dim K E est finie, on dit que E est une
extension finie de K et on pose [E : K] = dim K E.
Exemples IX.2.2.
a) Si E/K est une extension telle que [E : K] = 1, alors E = K.
b) [C : R] = 2.
c) R est une extension infinie de Q, puisque Q est dénombrable et que R ne
l’est pas.
Exercice IX.1. Soient K un corps et A un anneau intègre contenant K, de dimension finie en tant que K-espace vectoriel. Montrer que A est un corps. (On
montrera que, pour tout élément non nul a ∈ A, la multiplication par a est une
application K-linéaire bijective de A dans A et on en déduira que a est inversible
dans A.)
Proposition IX.2.1. Soient E/K et F/E des extensions. Si l’un des nombres [F : K]
ou [F : E][E : K] est fini, il en est de même pour l’autre et ils sont égaux.
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