IX.2. Extensions
Démonstration. Notons ϕ l’application définie sur K par ϕ(x) = x p . On a
ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y). L’égalité ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y), i.e. (x + y) p = x p + y p ,
est une conséquence de la formule du binôme et du fait que p étant premier, C k
p ,
0 < k < p, est divisible par p. Donc ϕ est un morphisme d’anneaux de K dans K.
Il est injectif, donc bijectif sur son image.
On déduit (ii) de (i) par récurrence sur n.
Le morphisme défini dans la proposition (IX.1.3.(i)) joue un grand rôle dans
l’étude des corps finis et, plus généralement, dans l’étude des corps de caractéristique p > 0 (cf. TR.IX.A et chapitre XV). C’est le morphisme de Frobenius.
Remarques IX.1.1.
a) On déduit de la définition (IX.1.3) que si un anneau A est de caractéristique
p > 0, p est le plus petit entier positif tel que, pour tout élément a de A, on ait
pa = 0.
b) On déduit de la proposition (IX.1.3) que si K est un corps de caractéristique
p > 0, alors pour tout entier n > 0, on a, dans K, l’identité :
q
i=1
x i
p n
=
q
i=1
x
p n
i .
c) D’après le théorème (IX.1.1), un corps de caractéristique nulle est infini et
un corps fini a une caractéristique p > 0.
d) D’après le théorème (IX.1.1), si k et K sont des corps tels que k ⊂ K, ils
ont même caractéristique (puisqu’ils ont même sous-corps premier).
Attention. Les réciproques de c) sont fausses. (Considérer le corps (Z/pZ)(X)
des fractions rationnelles à coefficients dans Z/pZ, où p est un nombre premier.)
IX.2. Extensions
Définition IX.2.1. Une extension d’un corps K est la donnée d’un corps E et
d’un morphisme de corps i : K −→ E.
Un morphisme de corps étant nécessairement injectif, on peut identifier le
corps K avec le sous-corps i(K) de E. Dans la suite, cette identification sera
toujours supposée faite (sauf mention explicite du contraire) et on considérera
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Démonstration. Notons ϕ l’application définie sur K par ϕ(x) = x p . On a
ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y). L’égalité ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y), i.e. (x + y) p = x p + y p ,
est une conséquence de la formule du binôme et du fait que p étant premier, C k
p ,
0 < k < p, est divisible par p. Donc ϕ est un morphisme d’anneaux de K dans K.
Il est injectif, donc bijectif sur son image.
On déduit (ii) de (i) par récurrence sur n.
Le morphisme défini dans la proposition (IX.1.3.(i)) joue un grand rôle dans
l’étude des corps finis et, plus généralement, dans l’étude des corps de caractéristique p > 0 (cf. TR.IX.A et chapitre XV). C’est le morphisme de Frobenius.
Remarques IX.1.1.
a) On déduit de la définition (IX.1.3) que si un anneau A est de caractéristique
p > 0, p est le plus petit entier positif tel que, pour tout élément a de A, on ait
pa = 0.
b) On déduit de la proposition (IX.1.3) que si K est un corps de caractéristique
p > 0, alors pour tout entier n > 0, on a, dans K, l’identité :
q
i=1
x i
p n
=
q
i=1
x
p n
i .
c) D’après le théorème (IX.1.1), un corps de caractéristique nulle est infini et
un corps fini a une caractéristique p > 0.
d) D’après le théorème (IX.1.1), si k et K sont des corps tels que k ⊂ K, ils
ont même caractéristique (puisqu’ils ont même sous-corps premier).
Attention. Les réciproques de c) sont fausses. (Considérer le corps (Z/pZ)(X)
des fractions rationnelles à coefficients dans Z/pZ, où p est un nombre premier.)
IX.2. Extensions
Définition IX.2.1. Une extension d’un corps K est la donnée d’un corps E et
d’un morphisme de corps i : K −→ E.
Un morphisme de corps étant nécessairement injectif, on peut identifier le
corps K avec le sous-corps i(K) de E. Dans la suite, cette identification sera
toujours supposée faite (sauf mention explicite du contraire) et on considérera
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