Chapitre IX. Généralités sur les extensions de corps
Proposition IX.1.1. Un sous-ensemble k d’un corps K est un sous-corps de K si
c’est un sous-anneau de K stable par inverse.
Il est clair qu’une intersection de sous-corps d’un corps K est un sous-corps
de K.
Définition IX.1.2. Un corps est dit premier s’il ne contient aucun sous-corps
distinct de lui-même.
Proposition IX.1.2. Tout corps K contient un sous-corps premier et un seul.
Démonstration. C’est l’intersection de tous les sous-corps de K.
Notons 1 A l’élément unité d’un anneau A et considérons le morphisme d’anneaux ϕ : Z −→ A défini par ϕ(1) = 1 A , i.e. ϕ(n) = n1 A . Le noyau Ker(ϕ) de ce
morphisme est un idéal de Z, on a donc Ker(ϕ) = (p), avec p 0.
Définition IX.1.3. L’entier p positif ou nul ainsi défini s’appelle la caractéristique de A.
Théorème IX.1.1.
(i) La caractéristique d’un corps est nulle ou est un nombre premier.
(ii) Si K est un corps de caractéristique nulle, son sous-corps premier est
isomorphe à Q.
(iii) Si K est un corps de caractéristique p > 0, son sous-corps premier est
isomorphe à Z/pZ.
Démonstration. Soit K un corps : si p = 0, alors Im(ϕ) Z/(p) est un sousanneau de K, donc intègre. Par conséquent, l’idéal (p) est premier, i.e. p est un
nombre premier.
Puisque le sous-anneau Im(ϕ) de K est engendré par 1 K , il est contenu dans
tout sous-corps de K, en particulier dans le sous-corps premier de K. Par conséquent, le sous-corps premier de K est le corps des fractions de Im(ϕ). Si p = 0,
Im(ϕ) Z et le sous-corps premier de K est isomorphe à Q. Si p > 0, alors p est
un nombre premier et Im(ϕ) Z/pZ est un corps.
Proposition IX.1.3. Soit K un corps de caractéristique p > 0.
(i) L’application x −→ x p est un isomorphisme de K sur un de ses sous-corps.
(ii) Pour tout entier n 0, l’application x −→ x p n est un isomorphisme de K
sur un de ses sous-corps.
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Proposition IX.1.1. Un sous-ensemble k d’un corps K est un sous-corps de K si
c’est un sous-anneau de K stable par inverse.
Il est clair qu’une intersection de sous-corps d’un corps K est un sous-corps
de K.
Définition IX.1.2. Un corps est dit premier s’il ne contient aucun sous-corps
distinct de lui-même.
Proposition IX.1.2. Tout corps K contient un sous-corps premier et un seul.
Démonstration. C’est l’intersection de tous les sous-corps de K.
Notons 1 A l’élément unité d’un anneau A et considérons le morphisme d’anneaux ϕ : Z −→ A défini par ϕ(1) = 1 A , i.e. ϕ(n) = n1 A . Le noyau Ker(ϕ) de ce
morphisme est un idéal de Z, on a donc Ker(ϕ) = (p), avec p 0.
Définition IX.1.3. L’entier p positif ou nul ainsi défini s’appelle la caractéristique de A.
Théorème IX.1.1.
(i) La caractéristique d’un corps est nulle ou est un nombre premier.
(ii) Si K est un corps de caractéristique nulle, son sous-corps premier est
isomorphe à Q.
(iii) Si K est un corps de caractéristique p > 0, son sous-corps premier est
isomorphe à Z/pZ.
Démonstration. Soit K un corps : si p = 0, alors Im(ϕ) Z/(p) est un sousanneau de K, donc intègre. Par conséquent, l’idéal (p) est premier, i.e. p est un
nombre premier.
Puisque le sous-anneau Im(ϕ) de K est engendré par 1 K , il est contenu dans
tout sous-corps de K, en particulier dans le sous-corps premier de K. Par conséquent, le sous-corps premier de K est le corps des fractions de Im(ϕ). Si p = 0,
Im(ϕ) Z et le sous-corps premier de K est isomorphe à Q. Si p > 0, alors p est
un nombre premier et Im(ϕ) Z/pZ est un corps.
Proposition IX.1.3. Soit K un corps de caractéristique p > 0.
(i) L’application x −→ x p est un isomorphisme de K sur un de ses sous-corps.
(ii) Pour tout entier n 0, l’application x −→ x p n est un isomorphisme de K
sur un de ses sous-corps.
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