IX
GÉNÉRALITÉS SUR LES EXTENSIONS
DE CORPS
Il est bien connu qu’un polynôme f (X) du second degré, à coefficients dans
R, dont le discriminant est négatif n’admet pas de racine dans R mais dans C.
Pour résoudre l’équation f (X) = 0 on est donc amené à considérer R comme un
sous-corps de C : on dit que C est une extension de R. De manière générale, la
théorie des extensions de corps a pour objet de répondre aux questions suivantes :
– Étant donnés un corps K et f (X) un polynôme de K[X], peut-on trouver
un corps L dont K soit un sous-corps et dans lequel on puisse résoudre
l’équation f (X) = 0 ?
– Étant donné un corps K, peut-on trouver un corps E dont K soit souscorps et dans lequel on puisse résoudre les équations f (X) = 0, pour tous
les polynômes f (X) de K[X] ?
Bien entendu, les propriétés du corps K entrent en jeu, en particulier sa caractéristique. Celle-ci caractérise un sous-corps de K, son sous-corps premier,
dont K est une extension. Ce sous-corps premier est soit isomorphe à Q, soit isomorphe à Z/pZ avec p un nombre premier, de sorte que tout corps est extension
de Q ou de Z/pZ.
IX.1. Corps premiers – Caractéristique d’un corps
Définition IX.1.1. On dit qu’un sous-ensemble k d’un corps K est un souscorps de K s’il est stable pour les opérations de K et si, muni des opérations
induites par celles de K, c’est un corps.
GÉNÉRALITÉS SUR LES EXTENSIONS
DE CORPS
Il est bien connu qu’un polynôme f (X) du second degré, à coefficients dans
R, dont le discriminant est négatif n’admet pas de racine dans R mais dans C.
Pour résoudre l’équation f (X) = 0 on est donc amené à considérer R comme un
sous-corps de C : on dit que C est une extension de R. De manière générale, la
théorie des extensions de corps a pour objet de répondre aux questions suivantes :
– Étant donnés un corps K et f (X) un polynôme de K[X], peut-on trouver
un corps L dont K soit un sous-corps et dans lequel on puisse résoudre
l’équation f (X) = 0 ?
– Étant donné un corps K, peut-on trouver un corps E dont K soit souscorps et dans lequel on puisse résoudre les équations f (X) = 0, pour tous
les polynômes f (X) de K[X] ?
Bien entendu, les propriétés du corps K entrent en jeu, en particulier sa caractéristique. Celle-ci caractérise un sous-corps de K, son sous-corps premier,
dont K est une extension. Ce sous-corps premier est soit isomorphe à Q, soit isomorphe à Z/pZ avec p un nombre premier, de sorte que tout corps est extension
de Q ou de Z/pZ.
IX.1. Corps premiers – Caractéristique d’un corps
Définition IX.1.1. On dit qu’un sous-ensemble k d’un corps K est un souscorps de K s’il est stable pour les opérations de K et si, muni des opérations
induites par celles de K, c’est un corps.