Algèbre T1
On en déduit facilement :
Proposition 2. Les irréductibles de Z[i] sont les nombres premiers p tels que
p ≡ −1 mod 4 et les éléments de norme première.
(Décomposer N (z) ∈ N en irréductibles.) Il en résulte également :
Théorème 1. Un entier naturel n est somme de deux carrés d’entiers naturels si et
seulement si l’exposant de p dans la décomposition en produit d’irréductibles dans
Z est pair pour tout nombre premier p ≡ −1 mod 4.
Vous verrez par contre au cours du TR.IX.B que tout nombre entier naturel
est somme de quatre carrés d’entiers naturels (théorème obtenu en travaillant
dans l’anneau non commutatif des quaternions de Hurwitz).
Le but de ce TP est de donner une preuve constructive de la première assertion de la proposition 1 et d’écrire la décomposition en irréductibles sur quelques
exemples (le cas général pouvant bien sûr être implémenté en machine par un
étudiant qui est à l’aise avec la programmation en Maple). On implémentera un
algorithme efficace qui fournit une écriture p = x 2 + y 2 et est particulièrement
intéressant compte tenu des notions algébriques utilisées.
Division euclidienne dans Z[i]
Comme Maple connaît i (tester (2+3*I)/(1-I);), les opérations dans Z[i]
sont directement accessibles par l’utilisateur, un élément de Z[i] étant vu comme
un nombre complexe.
☞ Quelques commandes Maple utiles : round, isprime.
1. Écrire une procedure znorm qui calcule la norme d’un élément de Z[i].
2. Justifier l’assertion faite dans l’introduction sur U(Z[i]) puis écrire une procédure znormalize qui renvoie l’unique représentant de la classe d’un élément de
Z[i] (donné en entrée) modulo les inversibles qui soit dans le premier quadrant
(i.e., outre 0, les éléments de la forme a + bi où a > 0 et b 0). Ce sera notre
choix de normalisation des irréductibles.
3. Soient a et b deux entiers de Gauss non nuls ; démontrer qu’il existe un couple
(q, r) d’éléments de Z[i] tels que a = bq + r avec N (r) < N(b). (On remarquera
que c’est équivalent à trouver q = x + iy tel que N (a/b − q) < 1 : il suffit donc
de poser a/b = r + is ∈ Q(i) et prendre pour x et y l’entier le plus proche de
r et s respectivement.) En déduire un algorithme de division euclidienne dans
232
On en déduit facilement :
Proposition 2. Les irréductibles de Z[i] sont les nombres premiers p tels que
p ≡ −1 mod 4 et les éléments de norme première.
(Décomposer N (z) ∈ N en irréductibles.) Il en résulte également :
Théorème 1. Un entier naturel n est somme de deux carrés d’entiers naturels si et
seulement si l’exposant de p dans la décomposition en produit d’irréductibles dans
Z est pair pour tout nombre premier p ≡ −1 mod 4.
Vous verrez par contre au cours du TR.IX.B que tout nombre entier naturel
est somme de quatre carrés d’entiers naturels (théorème obtenu en travaillant
dans l’anneau non commutatif des quaternions de Hurwitz).
Le but de ce TP est de donner une preuve constructive de la première assertion de la proposition 1 et d’écrire la décomposition en irréductibles sur quelques
exemples (le cas général pouvant bien sûr être implémenté en machine par un
étudiant qui est à l’aise avec la programmation en Maple). On implémentera un
algorithme efficace qui fournit une écriture p = x 2 + y 2 et est particulièrement
intéressant compte tenu des notions algébriques utilisées.
Division euclidienne dans Z[i]
Comme Maple connaît i (tester (2+3*I)/(1-I);), les opérations dans Z[i]
sont directement accessibles par l’utilisateur, un élément de Z[i] étant vu comme
un nombre complexe.
☞ Quelques commandes Maple utiles : round, isprime.
1. Écrire une procedure znorm qui calcule la norme d’un élément de Z[i].
2. Justifier l’assertion faite dans l’introduction sur U(Z[i]) puis écrire une procédure znormalize qui renvoie l’unique représentant de la classe d’un élément de
Z[i] (donné en entrée) modulo les inversibles qui soit dans le premier quadrant
(i.e., outre 0, les éléments de la forme a + bi où a > 0 et b 0). Ce sera notre
choix de normalisation des irréductibles.
3. Soient a et b deux entiers de Gauss non nuls ; démontrer qu’il existe un couple
(q, r) d’éléments de Z[i] tels que a = bq + r avec N (r) < N(b). (On remarquera
que c’est équivalent à trouver q = x + iy tel que N (a/b − q) < 1 : il suffit donc
de poser a/b = r + is ∈ Q(i) et prendre pour x et y l’entier le plus proche de
r et s respectivement.) En déduire un algorithme de division euclidienne dans
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