Travaux pratiques
Z[i] qui sera représenté par une fonction zdiv prenant en entrée deux éléments
de Z[i] et qui renvoie un vecteur à deux éléments représentant respectivement
le quotient et le reste de la division euclidienne. Tester votre procédure sur les
couples (7 + i, 4 + 3i) et (4 + 3i, 1 + i).
4. En mimant l’algorithme classique du pgcd, écrire une procédure zgcd qui renvoie le pgcd, normalisé via znormalize, de deux éléments de Z[i].
5. Démontrer la propostion 2 (à partir de la proposition 1), puis écrire une procédure iszprime renvoyant true si l’entier de Gauss donné est premier et false
sinon. À l’aide de vos procédures, donner (aux inversibles près, i.e. en se limitant au premier quadrant) la liste de tous les éléments premiers de Z[i] de
norme inférieure ou égale à 25. En déduire la factorisation des éléments 2, 7+i,
4 + 3i, 5 + 3i et 7 + 2i.
La stratégie
Nous allons associer à un nombre premier p (de la forme 4k + 1) un élément
premier x p de Z[i] tel que N (x p ) = p. Pour cela, nous allons faire apparaître
x p comme un générateur d’un idéal premier p de Z[i]. En effet, l’anneau Z[i] est
principal. Donc tout idéal premier est principal, et les idéaux premiers non-nuls
sont maximaux. Un générateur d’un idéal premier est un élément premier de Z[i].
Procédons par analyse et synthèse : supposons que p = N (x p ) = x p ¯
x p . On
vérifie facilement que si p = 2 alors x p et ¯
x p ne sont pas associés dans Z[i]. Il en
résulte un isomorphisme d’anneaux :
Z[i]/(p) Z[i]/(x p ) × Z[i]/( ¯
x p ),
d’après le théorème chinois. Poursuivons : d’une part, Z[i]/(p) est de cardinal p 2
(car isomorphe à (Z/pZ) 2 en tant que groupe abélien) ; d’autre part, les quotients
Z[i]/(x p ) et Z[i]/( ¯
x p ) sont deux corps car les idéaux premiers (x p ) et ( ¯
x p ) sont
maximaux. Nécessairement, Z[i]/(x p ) est isomorphe à F p = Z/pZ. Autrement
dit, la projection canonique Z[i] → Z[i]/(x p ) fournit un morphisme d’anneaux
Z[i] → F p , de noyau (x p ).
Cela nous amène à construire l’idéal p comme le noyau d’un morphisme d’anneaux f : Z[i] → F p . Noter déjà que, puisque F p est un corps (donc intègre), le
noyau de ce morphisme d’anneaux sera un idéal maximal (donc premier). Un tel
morphisme est entièrement caractérisé par l’image de 1 et de i. Néanmoins, étant
un morphisme d’anneaux, nous avons nécessairement f (1) = 1, et par suite ce
morphisme est déterminé par f (i). Or, i est un élément d’ordre 4 dans U(Z[i]). Il
ne peut donc s’envoyer que sur un élément d’ordre 4 de F ×
p . Ensuite, on obtiendra
notre générateur par l’algorithme euclidien de Z[i].
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Z[i] qui sera représenté par une fonction zdiv prenant en entrée deux éléments
de Z[i] et qui renvoie un vecteur à deux éléments représentant respectivement
le quotient et le reste de la division euclidienne. Tester votre procédure sur les
couples (7 + i, 4 + 3i) et (4 + 3i, 1 + i).
4. En mimant l’algorithme classique du pgcd, écrire une procédure zgcd qui renvoie le pgcd, normalisé via znormalize, de deux éléments de Z[i].
5. Démontrer la propostion 2 (à partir de la proposition 1), puis écrire une procédure iszprime renvoyant true si l’entier de Gauss donné est premier et false
sinon. À l’aide de vos procédures, donner (aux inversibles près, i.e. en se limitant au premier quadrant) la liste de tous les éléments premiers de Z[i] de
norme inférieure ou égale à 25. En déduire la factorisation des éléments 2, 7+i,
4 + 3i, 5 + 3i et 7 + 2i.
La stratégie
Nous allons associer à un nombre premier p (de la forme 4k + 1) un élément
premier x p de Z[i] tel que N (x p ) = p. Pour cela, nous allons faire apparaître
x p comme un générateur d’un idéal premier p de Z[i]. En effet, l’anneau Z[i] est
principal. Donc tout idéal premier est principal, et les idéaux premiers non-nuls
sont maximaux. Un générateur d’un idéal premier est un élément premier de Z[i].
Procédons par analyse et synthèse : supposons que p = N (x p ) = x p ¯
x p . On
vérifie facilement que si p = 2 alors x p et ¯
x p ne sont pas associés dans Z[i]. Il en
résulte un isomorphisme d’anneaux :
Z[i]/(p) Z[i]/(x p ) × Z[i]/( ¯
x p ),
d’après le théorème chinois. Poursuivons : d’une part, Z[i]/(p) est de cardinal p 2
(car isomorphe à (Z/pZ) 2 en tant que groupe abélien) ; d’autre part, les quotients
Z[i]/(x p ) et Z[i]/( ¯
x p ) sont deux corps car les idéaux premiers (x p ) et ( ¯
x p ) sont
maximaux. Nécessairement, Z[i]/(x p ) est isomorphe à F p = Z/pZ. Autrement
dit, la projection canonique Z[i] → Z[i]/(x p ) fournit un morphisme d’anneaux
Z[i] → F p , de noyau (x p ).
Cela nous amène à construire l’idéal p comme le noyau d’un morphisme d’anneaux f : Z[i] → F p . Noter déjà que, puisque F p est un corps (donc intègre), le
noyau de ce morphisme d’anneaux sera un idéal maximal (donc premier). Un tel
morphisme est entièrement caractérisé par l’image de 1 et de i. Néanmoins, étant
un morphisme d’anneaux, nous avons nécessairement f (1) = 1, et par suite ce
morphisme est déterminé par f (i). Or, i est un élément d’ordre 4 dans U(Z[i]). Il
ne peut donc s’envoyer que sur un élément d’ordre 4 de F ×
p . Ensuite, on obtiendra
notre générateur par l’algorithme euclidien de Z[i].
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