TRAVAUX PRATIQUES
TP.VIII. Entiers de Gauss et sommes de deux carrés
Les anneaux des entiers des corps de nombres constituent, avec les anneaux
de polynômes, les deux grands types d’anneaux qui intéressent particulièrement
les arithméticiens. Un exemple est l’anneau Z[i] ⊂ C des entiers de Gauss, constitué des nombres complexes à coordonnées entières. Son corps des fractions est
Q(i) ⊂ C, qui est le Q-espace vectoriel de base {1, i}, et Z[i] joue pour le corps
de nombres Q(i) le même rôle que joue Z pour Q. Pour déterminer les inversibles de l’anneau Z[i], on introduit la norme N définie par N (a + ib) = a 2 + b 2 .
C’est aussi le produit z¯ z, où z = a + ib, d’où résulte la multiplicativité de
la norme : N (zz ) = N (z)N (z ). Il est alors facile de voir que les unités sont
U(Z[i]) = {z, N (z) = 1} = {±1}.
Dans Q[x], étant donné deux polynômes f et g non nuls, il existe un unique
couple (q, r) de polynômes tels que f = gq + r. L’existence de cette division
euclidienne implique la principalité de Q[x]. Nous allons voir que Z[i] possède
également un algorithme euclidien, d’où résultent les propriétés arithmétiques de
l’anneau. Il est alors possible de décomposer tout élément de Z[i] en produit d’irréductibles et cette décomposition est unique (à permutation près des facteurs) si
l’on choisit un système de représentants des irréductibles (modulo les inversibles).
L’anneau Z est un sous-anneau de Z[i] et l’on peut se demander quand est-ce
qu’un irréductible de Z reste irréductible dans Z[i] ou, au contraire, se décompose :
par exemple, 5 = 2 2 + 1 2 = (2 + i)(2 − i). La décomposition d’un nombre premier
de Z est liée à son écriture en somme de deux carrés :
Proposition 1. Si p est un nombre premier vérifiant p ≡ 1 mod 4 ou p = 2, alors
il existe des entiers naturels x et y tels que p = x 2 + y 2 = (x + iy)(x − iy). Si par
contre p ≡ −1 mod 4 alors p reste irréductible dans Z[i] et cette équation n’admet
pas de solution en entiers.
TP.VIII. Entiers de Gauss et sommes de deux carrés
Les anneaux des entiers des corps de nombres constituent, avec les anneaux
de polynômes, les deux grands types d’anneaux qui intéressent particulièrement
les arithméticiens. Un exemple est l’anneau Z[i] ⊂ C des entiers de Gauss, constitué des nombres complexes à coordonnées entières. Son corps des fractions est
Q(i) ⊂ C, qui est le Q-espace vectoriel de base {1, i}, et Z[i] joue pour le corps
de nombres Q(i) le même rôle que joue Z pour Q. Pour déterminer les inversibles de l’anneau Z[i], on introduit la norme N définie par N (a + ib) = a 2 + b 2 .
C’est aussi le produit z¯ z, où z = a + ib, d’où résulte la multiplicativité de
la norme : N (zz ) = N (z)N (z ). Il est alors facile de voir que les unités sont
U(Z[i]) = {z, N (z) = 1} = {±1}.
Dans Q[x], étant donné deux polynômes f et g non nuls, il existe un unique
couple (q, r) de polynômes tels que f = gq + r. L’existence de cette division
euclidienne implique la principalité de Q[x]. Nous allons voir que Z[i] possède
également un algorithme euclidien, d’où résultent les propriétés arithmétiques de
l’anneau. Il est alors possible de décomposer tout élément de Z[i] en produit d’irréductibles et cette décomposition est unique (à permutation près des facteurs) si
l’on choisit un système de représentants des irréductibles (modulo les inversibles).
L’anneau Z est un sous-anneau de Z[i] et l’on peut se demander quand est-ce
qu’un irréductible de Z reste irréductible dans Z[i] ou, au contraire, se décompose :
par exemple, 5 = 2 2 + 1 2 = (2 + i)(2 − i). La décomposition d’un nombre premier
de Z est liée à son écriture en somme de deux carrés :
Proposition 1. Si p est un nombre premier vérifiant p ≡ 1 mod 4 ou p = 2, alors
il existe des entiers naturels x et y tels que p = x 2 + y 2 = (x + iy)(x − iy). Si par
contre p ≡ −1 mod 4 alors p reste irréductible dans Z[i] et cette équation n’admet
pas de solution en entiers.