Algèbre T1
On définit sur K(G) deux opérations internes, somme et produit, par
⎛
⎝
g∈G
a g g
⎞
⎠ +
⎛
⎝
g∈G
b g g
⎞
⎠ =
g∈G
(a g + b g )g
⎛
⎝
g∈G
a g g
⎞
⎠
⎛
⎝
g ∈G
b g g
⎞
⎠ =
g,g ∈G
a g b g gg
et une opération externe de K sur K(G) définie par
λ
⎛
⎝
g∈G
a g g
⎞
⎠ =
g∈G
λa g g, λ ∈ K.
2. Montrer que, muni de ces opérations, K(G) est une K-algèbre.
On remarquera que la structure de K-algèbre définie ci-dessus ne fait pas
intervenir le fait que tout élément de G admet un inverse. On peut donc étendre
la définition de cette K-algèbre au cas où G est un monoïde.
Ce qui précède permet de définir la notion de polynôme en un nombre quelconque de variables, de la façon suivante.
Soit S un ensemble ; on considère l’ensemble
N(S) = {f : S −→ N | f (s) = 0 sauf pour un nombre fini de s ∈ S}.
On définit sur N(S) une opération interne, notée multiplicativement, par
(f g)(s) = f (s) + g(s).
3. Montrer que, muni de cette loi, N(S) est un monoïde, dont l’élément neutre
est l’application nulle.
4. Montrer que tout élément f de N(S) s’écrit, de manière unique,
s∈S s μ(s) ,
avec μ(s) = 0 sauf pour un nombre fini de s, où μ(s) ∈ N et s n est l’application
de S dans N définie par s n (x) = 0 si x = s et s n (s) = n.
Soit K un corps commutatif ; on appelle anneau de polynômes en S, à
coefficients dans K, l’algèbre K(N(S)), que l’on notera K[S] dans la suite.
5. Montrer que si card(S) = n, l’anneau K[S] est isomorphe à l’anneau
K[X 1 , . . . , X n ].
6. Montrer que tout élément de K[S] s’écrit, de manière unique,
μ∈N(S)
a (μ)
s∈S
s
μ(s)
avec les a (μ) ∈ K nuls sauf pour un nombre fini de μ et les μ(s) nuls sauf pour un
nombre fini de s.
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