Thèmes de réflexion
On a donc la situation suivante : un corps commutatif K, un ensemble
A(= K[X]), une loi externe de K sur A, deux lois internes sur A, notées +
et ., telles que
– la loi externe et + munissent A d’une structure de K-espace vectoriel ;
– la loi + est distributive par rapport à la loi . ;
– la loi externe et la loi . vérifient la condition de compatibilité
∀k ∈ K, ∀x, y ∈ A, (kx).y = x.(ky) = k(x.y).
Dans le cas de K[X], on a, de plus, que la loi . est associative, commutative,
possède un élément unité.
On formalise cette nouvelle structure de la façon suivante.
Soit K un corps commutatif, une K-algèbre A est la donnée d’un K-espace
vectoriel A et d’une application K-bilinéaire
f : A × A −→ A.
La K-algèbre A est dite associative si l’application f vérifie la condition
(1) ∀x, y, z ∈ A, f (f (x, y), z) = f (x, f (y, z)).
La K-algèbre A est dite commutative si l’application f vérifie la condition
(2) ∀x, y ∈ A, f (x, y) = f (y, x).
La K-algèbre A est dite unitaire s’il existe un élément 1 ∈ A vérifiant la condition
(3) ∀x ∈ A, f (1, x) = f (x, 1) = x.
1. On suppose que A est une K-algèbre et on pose f (x, y) = xy. Montrer que la
bilinéarité de l’application f se traduit alors par la distributivité de la somme par
rapport au produit et par la compatibilité de la loi externe et du produit. Montrer
que si la K-algèbre A est associative et unitaire, A a une structure d’anneau
compatible avec sa structure de K-espace vectoriel. Tester ces affirmations avec
A = K[X].
Ceci montre qu’on peut toujours considérer qu’une K-algèbre associative et
unitaire est un anneau muni d’une structure de K-espace vectoriel, ces deux structures étant compatibles.
Algèbre d’un groupe
Soient K un corps commutatif et G un groupe. On pose
K(G) =
⎧
⎨
⎩
g∈G
a g g | a g ∈ K, a g = 0 sauf pour un nombre fini de g
⎫
⎬
⎭
.
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