Algèbre T1
(ii) Res(f, g) = 0 si et seulement si f (X) et g(X) ont une racine commune
(iii) Res(f, g) = 0 si et seulement si f (X) et g(X) ont un pgcd non constant
dans K[X]
(iv) Res(g, f ) = (−1) mn Res(f, g)
(v) Res(f, g) = a n
1im g(a i )
(vi) Si f (x) et g(x) sont non constants et si r(X) est le reste de la division
euclidienne de f (X) par g(X), Res(f, g) = (−1) mn b (m−deg(r)) Res(g, r)
(vii) Res(f, g 1 g 2 ) = Res(f, g 1 )Res(f, g 2 ).
B - Discriminant d’un polynôme
Soient K un corps, K une clôture algébrique de K et f (X) ∈ K[X] un polynôme non nul, de coefficient dominant a. Le discriminant de f (X) est l’expression
D(f ) =
(−1)
n(n−1)
2
Res(f, f )
a
où f est le polynôme dérivé de f .
2. Montrer que D(aX 2 + bX + c) = b 2 − 4ac, D(X 3 + pX + q) = −4p 3 − 27q 2 et
que si f (X) = a
1in
(X − a i ), alors D(f ) = a (2n−2)
1i (a i − a j )
2 .
3. Montrer que D(f ) = 0 si et seulement si le polynôme f (X) a une racine d’ordre
de multiplicité supérieur ou égal à 2 dans K.
4. Montrer que D(X n−1 + X n−2 + . . . + 1) = (−1)
(n−1)(n−2)
2
n (n−2) . (Utiliser (1.v).)
♣ TR.VIII.D. Algèbres - Algèbres de polynômes
Soient K un corps commutatif et K[X] l’anneau de polynômes en une indéterminée, à coefficients dans K. Il est évident que la multiplication des polynômes par
les constantes de K et l’addition des polynômes munissent K[X] d’une structure
de K-espace vectoriel. De plus, la loi externe de K sur K[X] et la multiplication
dans K[X] vérifient la condition
∀k ∈ K, ∀P, Q ∈ K[X], (kP )Q = P (kQ) = k(P Q).
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