Thèmes de réflexion
6. Montrer que le polynôme f (X) = X 4 + 1 est irréductible dans Z[X]. (On
appliquera le critère d’Eisenstein à f (X + 1).)
On considère maintenant la réduction f p (X) de f (X) dans (Z/pZ)[X], pour
p premier.
7. Montrer que f 2 (X) n’est pas irréductible dans (Z/2Z)[X].
On suppose maintenant que p 3. On a alors, dans (Z/pZ)[X],
X
8
− 1 = (X
4
− 1)(X
4 + 1).
8. Soit E une extension quelconque de Z/pZ. Montrer qu’un élément x ∈ E \ {0}
est racine du polynôme X 4 + 1 si et seulement si x est un élément d’ordre 8.
9. Montrer que (p 2 − 1) est divisible par 8. En déduire qu’il existe un élément
d’ordre 8 dans toute extension E de Z/pZ telle que card(E) = p 2 . (Indication :
utiliser le fait que le groupe E ∗ est cyclique, cf. exercice VIII.3.)
10. Montrer que pour une telle extension E, [E : Z/pZ] = 2. En déduire que le
polynôme X 4 + 1 n’est pas irréductible dans Z/pZ[X].
♥ TR.VIII.C. Résultant - Discriminant
On démontrera au chapitre XII que, pour tout corps K, il existe un corps K,
appelé clôture algébrique de K, tel que tout polynôme f (X) ∈ K[X] s’écrive dans
K[X] sous la forme f (X) = a
1im
(X − a i ), où m est le degré de f .
A - Résultant de deux polynômes
Soient K un corps, K une clôture algébrique de K, f (X) = 0 et g(X) = 0
deux polynômes à coefficients dans K, de degrés respectifs m et n. Dans K[X],
on a f (X) = a
1im
(X − a i ) et g(X) = b
1in
(X − b i ).
On appelle résultant des polynômes f (X) et g(X), le produit
Res(f, g) = a
n b
m
1im, 1jn
(a i − b j ).
Si f = 0 ou g = 0, on pose Res(f, g) = 0.
1. Soient f (x) = 0 et g(X) = 0 des polynômes à coefficients dans K. Montrer
que :
(i) Res(f, g) ∈ K
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