Algèbre T1
♣ TR.VIII.B. Critère d’irréductibilité par réduction
Soient A et B deux anneaux commutatifs et f : A −→ B un morphisme
d’anneaux. Pour tout polynôme P ∈ A[X], P (X) = a n X n + . . . + a 0 , on note
f (P ) le polynôme f (a n )X n + . . . + f (a 0 ) de B[X].
1. Soient A et B des anneaux intègres, K et L leurs corps des fractions respectifs,
f : A −→ B un morphisme d’anneaux. Soit P ∈ A[X] tel que f (P ) = 0 et
deg(f (P )) = deg(P ). Montrer que si f (P ) est irréductible dans L[X], alors on ne
peut avoir P (X) = Q(X)R(X) avec Q, R ∈ A[X] de degré supérieur ou égal à 1.
En déduire le résultat suivant :
2. Soient A un anneau principal, K son corps des fractions, I un idéal premier
de A, B = A/I, L le corps des fractions de B. Soient P (X) = a n X n + . . . +
a 0 ∈ A[X] et P sa réduction modulo I. On suppose que a n = 0. Montrer que si
P est irréductible dans B[X] ou L[X], alors P est irréductible dans K[X].
3. Montrer que le polynôme X 2 +Y 2 +1 est irréductible dans R[X, Y ]. (Considérer
I = (Y ).)
On remarquera que P n’est pas nécessairement irréductible dans A[X]. (Considérer P (X) = 2X ∈ Z[X] et I = (3).) Bien évidemment, d’après le théorème (VIII.9.1), si deg(P ) 1 et c(P ) = 1, le polynôme P est irréductible
dans A[X].
On peut, en particulier, appliquer le résultat ci-dessus avec A = Z et I = (p)
avec p premier.
Nous allons montrer que, pour tout nombre premier p, le polynôme
f (X) = X p − X − 1 est irréductible dans Z/pZ[X], ce qui, d’après le résultat cidessus, prouvera qu’il est irréductible dans Z[X]. (En fait, il suffit que l’assertion
soit vérifiée pour un seul p.)
Nous avons précisé au TR.VIII.A. qu’il existe un corps K, contenant le corps
Z/pZ, dans lequel le polynôme f (X) admet une racine a.
4. Montrer que les racines de f (X) sont les a + j, où j parcourt les entiers
0, 1, . . . , (p − 1).
On suppose que f (X) = g(X)h(X), avec g(X), h(X) appartenant à Z/pZ[X]
et 0 < r = deg(g) < p, 0 < s = deg(h) < p.
Alors, dans K[X], on a g(X) =
l=r
l=1 (X − (a + j l )), avec j l ∈ {0, 1, . . . , p − 1}.
5. En calculant le coefficient de X r−1 , montrer que a ∈ Z/pZ. En déduire une
contradiction.
Le résultat démontré à la question 2 est une condition suffisante, mais non
nécessaire, comme le montre l’exemple ci-dessous. (♠)
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♣ TR.VIII.B. Critère d’irréductibilité par réduction
Soient A et B deux anneaux commutatifs et f : A −→ B un morphisme
d’anneaux. Pour tout polynôme P ∈ A[X], P (X) = a n X n + . . . + a 0 , on note
f (P ) le polynôme f (a n )X n + . . . + f (a 0 ) de B[X].
1. Soient A et B des anneaux intègres, K et L leurs corps des fractions respectifs,
f : A −→ B un morphisme d’anneaux. Soit P ∈ A[X] tel que f (P ) = 0 et
deg(f (P )) = deg(P ). Montrer que si f (P ) est irréductible dans L[X], alors on ne
peut avoir P (X) = Q(X)R(X) avec Q, R ∈ A[X] de degré supérieur ou égal à 1.
En déduire le résultat suivant :
2. Soient A un anneau principal, K son corps des fractions, I un idéal premier
de A, B = A/I, L le corps des fractions de B. Soient P (X) = a n X n + . . . +
a 0 ∈ A[X] et P sa réduction modulo I. On suppose que a n = 0. Montrer que si
P est irréductible dans B[X] ou L[X], alors P est irréductible dans K[X].
3. Montrer que le polynôme X 2 +Y 2 +1 est irréductible dans R[X, Y ]. (Considérer
I = (Y ).)
On remarquera que P n’est pas nécessairement irréductible dans A[X]. (Considérer P (X) = 2X ∈ Z[X] et I = (3).) Bien évidemment, d’après le théorème (VIII.9.1), si deg(P ) 1 et c(P ) = 1, le polynôme P est irréductible
dans A[X].
On peut, en particulier, appliquer le résultat ci-dessus avec A = Z et I = (p)
avec p premier.
Nous allons montrer que, pour tout nombre premier p, le polynôme
f (X) = X p − X − 1 est irréductible dans Z/pZ[X], ce qui, d’après le résultat cidessus, prouvera qu’il est irréductible dans Z[X]. (En fait, il suffit que l’assertion
soit vérifiée pour un seul p.)
Nous avons précisé au TR.VIII.A. qu’il existe un corps K, contenant le corps
Z/pZ, dans lequel le polynôme f (X) admet une racine a.
4. Montrer que les racines de f (X) sont les a + j, où j parcourt les entiers
0, 1, . . . , (p − 1).
On suppose que f (X) = g(X)h(X), avec g(X), h(X) appartenant à Z/pZ[X]
et 0 < r = deg(g) < p, 0 < s = deg(h) < p.
Alors, dans K[X], on a g(X) =
l=r
l=1 (X − (a + j l )), avec j l ∈ {0, 1, . . . , p − 1}.
5. En calculant le coefficient de X r−1 , montrer que a ∈ Z/pZ. En déduire une
contradiction.
Le résultat démontré à la question 2 est une condition suffisante, mais non
nécessaire, comme le montre l’exemple ci-dessous. (♠)
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