THÈMES DE RÉFLEXION
Nous allons étudier ci-dessous deux critères d’irréductibilité des polynômes.
On en trouvera d’autres, utiles et efficaces, au TP.IX.A.
♠ TR.VIII.A. Critère d’irrédutibilité par extension
Si K est un corps, on appelle extension de K tout corps E qui contient K
comme sous-corps.
1. Montrer que la multiplication de E munit le groupe abélien (E, +) d’une structure naturelle de K-espace vectoriel.
On dit que E est une extension finie de K si E est une extension de K telle
que le K-espace vectoriel E soit de dimension finie. On pose [E : K] = dim K (E).
Soient K un corps et P (X) ∈ K[X]. Nous admettrons qu’il existe une extension E de K, telle que le polynôme P (X) admette une racine x dans E. (Pour
tout corps K et tout polynôme P (X) ∈ K[X], ce corps existe, cf. chapitre XII).
On note K(x) le plus petit sous-corps de E qui contienne K et x.
2. Soient K un corps et P (X) ∈ K[X] un polynôme de degré n et x
une racine de P (X). Montrer que si P (X) est irréductible dans K[X], alors
K(x) K[X]/P (X). Montrer que [K(x) : K] = n. (Montrer que 1, x, . . . , x n−1
est une base du K-espace vectoriel K(x).)
3. Soient K un corps, P (X) ∈ K[X] un polynôme de degré n. Montrer que
P (X) est irréductible dans K[X] si et seulement s’il n’a pas de racine dans toute
extension E de K telle que [E : K] n/2.
Nous allons étudier ci-dessous deux critères d’irréductibilité des polynômes.
On en trouvera d’autres, utiles et efficaces, au TP.IX.A.
♠ TR.VIII.A. Critère d’irrédutibilité par extension
Si K est un corps, on appelle extension de K tout corps E qui contient K
comme sous-corps.
1. Montrer que la multiplication de E munit le groupe abélien (E, +) d’une structure naturelle de K-espace vectoriel.
On dit que E est une extension finie de K si E est une extension de K telle
que le K-espace vectoriel E soit de dimension finie. On pose [E : K] = dim K (E).
Soient K un corps et P (X) ∈ K[X]. Nous admettrons qu’il existe une extension E de K, telle que le polynôme P (X) admette une racine x dans E. (Pour
tout corps K et tout polynôme P (X) ∈ K[X], ce corps existe, cf. chapitre XII).
On note K(x) le plus petit sous-corps de E qui contienne K et x.
2. Soient K un corps et P (X) ∈ K[X] un polynôme de degré n et x
une racine de P (X). Montrer que si P (X) est irréductible dans K[X], alors
K(x) K[X]/P (X). Montrer que [K(x) : K] = n. (Montrer que 1, x, . . . , x n−1
est une base du K-espace vectoriel K(x).)
3. Soient K un corps, P (X) ∈ K[X] un polynôme de degré n. Montrer que
P (X) est irréductible dans K[X] si et seulement s’il n’a pas de racine dans toute
extension E de K telle que [E : K] n/2.