Chapitre VIII. Anneaux de polynômes
Démonstration. Si a ∈ K est une racine d’ordre r d’un polynôme f ∈ K[X], on
a f (X) = (X − a) r g(X), avec g(a) = 0. On calcule la dérivée k-ième de cette
égalité :
f
(k) (X) = r(r − 1) . . . (r − k + 1)(X − a)
r−k g(X) + (X − a)
r−k+1 g k (X).
On en déduit que f (k) (a) = 0 pour 0 k r − 1. D’autre part, f (r) (a) = r!g(a)
et, puisque g(a) = 0 et que K est un corps de caractéristique nulle, f (r) (a) = 0.
Réciproquement, supposons que
f (a) = f
(a) = . . . = f
(r−1) (a) = 0 et f
(r) (a) = 0.
Puisque K est un corps de caractéristique nulle, on peut diviser par k! et on écrit :
f (X) =
k=n
k=0
(X − a)
k f (k) (a)
k!
(utiliser le fait que les polynômes {(X − a) k } k∈N forment un base de K[X] et
identifier les coefficients).
Par hypothèse, tous les termes pour k r − 1 sont nuls, d’où :
f (X) = (X − a)
r
f (r) (a)
r!
+ (X − a)
f (r+1) (a)
(r + 1)!
+ . . .
.
Autrement dit, on a f (X) = (X − a) r g(X) avec g(a) = 0. Si f (X) était divisible
par (X − a) r+1 , alors g(X) serait divisible par (X − a), ce qui est en contradiction
avec g(a) = 0. Donc r est bien le plus grand entier k tel que (X − a) k divise f (X).
VIII.11. Polynômes symétriques
Soient A un anneau et T 1 , . . . , T n , X des indéterminées. On forme le polynôme
en X, à coefficients dans A[T 1 , . . . , T n ], suivant :
F (X) = (X − T 1 ) . . . (X − T n ).
En développant, on obtient
F (X) = X
n
− s 1 X
n−1 + . . . + (−1)
n s n ,
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