VIII.10. Racines – Ordre de multiplicité
avec g i (X 1 , . . . , X n−1 ) ∈ A[X 1 , . . . , X n−1 ]. Si g i (a 1 , . . . , a n−1 ) = 0 pour tout
(a 1 , . . . , a n−1 ) dans S 1 × . . . × S n−1 , alors l’hypothèse de récurrence entraîne
que g i (X 1 , . . . , X n−1 ) = 0. Donc, si f (X 1 , . . . , X n ) = 0, il existe un indice
i 0 et (a 1 , . . . , a n−1 ) ∈ S 1 × . . . × S n−1 tels que g i 0 (a 1 , . . . , a n−1 ) = 0. Alors
f (a 1 , . . . , a n−1 , X n ) est un polynôme non nul en X n , ce qui contredit le fait qu’il
est nul pour une infinité de valeurs de X n .
Définition VIII.10.2. Soient A un anneau intègre, f (X) un polynôme de A[X]
et a ∈ A une racine de f . L’ordre de multiplicité de a est le plus grand
entier m tel que (X − a) m divise f (X). Si m > 1, on dit que a est une racine
multiple d’ordre de multiplicité m ; si m = 1, on dit que a est une racine
simple.
Attention. Soient A un anneau intègre et
f (X) = a n X
n + a n−1 x
n−1 + . . . + a 1 X + a 0
un polynôme de A[X]. On sait, depuis les cours d’analyse du lycée, que son polynôme dérivé s’écrit
f
(X) = na n X
n−1 + (n − 1)a n−1 X
n−2 + . . . + a 1 .
Mais la définition d’une dérivée utilise la notion de limite, qui n’existe pas en
algèbre. Cependant, il existe une notion de dérivation en algèbre et l’on montre
(cf. [14]), ce que l’on admettra ici, que tout polynôme admet un polynôme dérivé
dont l’expression est la même que ci-dessus.
Proposition VIII.10.1. Avec les mêmes notations que ci-dessus, a est une racine
multiple de f si et seulement si f (a) = 0 et f (a) = 0, où f est le polynôme
dérivé de f .
Démonstration. Si
a
est
racine
multiple
d’ordre
m
de
f (X),
on
a
f (X) = (X − a) m g(X)
avec
g(a)
=
0,
d’où
f (X) = (X − a) m g (X) + m(X − a) m−1 g(X). Si m > 1, alors f (a) = 0;
si m = 1, alors f (X) = (X − a)g (X) + g(X), donc f (a) = g(a) = 0.
Proposition VIII.10.2. Si K est un corps de caractéristique nulle définition (cf. définition IX.1.3), pour que a ∈ K soit une racine d’ordre r d’un polynôme f ∈ K[X],
il faut et il suffit que
f (a) = f
(a) = . . . = f
(r−1) (a) = 0 et f
(r) (a) = 0.
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avec g i (X 1 , . . . , X n−1 ) ∈ A[X 1 , . . . , X n−1 ]. Si g i (a 1 , . . . , a n−1 ) = 0 pour tout
(a 1 , . . . , a n−1 ) dans S 1 × . . . × S n−1 , alors l’hypothèse de récurrence entraîne
que g i (X 1 , . . . , X n−1 ) = 0. Donc, si f (X 1 , . . . , X n ) = 0, il existe un indice
i 0 et (a 1 , . . . , a n−1 ) ∈ S 1 × . . . × S n−1 tels que g i 0 (a 1 , . . . , a n−1 ) = 0. Alors
f (a 1 , . . . , a n−1 , X n ) est un polynôme non nul en X n , ce qui contredit le fait qu’il
est nul pour une infinité de valeurs de X n .
Définition VIII.10.2. Soient A un anneau intègre, f (X) un polynôme de A[X]
et a ∈ A une racine de f . L’ordre de multiplicité de a est le plus grand
entier m tel que (X − a) m divise f (X). Si m > 1, on dit que a est une racine
multiple d’ordre de multiplicité m ; si m = 1, on dit que a est une racine
simple.
Attention. Soient A un anneau intègre et
f (X) = a n X
n + a n−1 x
n−1 + . . . + a 1 X + a 0
un polynôme de A[X]. On sait, depuis les cours d’analyse du lycée, que son polynôme dérivé s’écrit
f
(X) = na n X
n−1 + (n − 1)a n−1 X
n−2 + . . . + a 1 .
Mais la définition d’une dérivée utilise la notion de limite, qui n’existe pas en
algèbre. Cependant, il existe une notion de dérivation en algèbre et l’on montre
(cf. [14]), ce que l’on admettra ici, que tout polynôme admet un polynôme dérivé
dont l’expression est la même que ci-dessus.
Proposition VIII.10.1. Avec les mêmes notations que ci-dessus, a est une racine
multiple de f si et seulement si f (a) = 0 et f (a) = 0, où f est le polynôme
dérivé de f .
Démonstration. Si
a
est
racine
multiple
d’ordre
m
de
f (X),
on
a
f (X) = (X − a) m g(X)
avec
g(a)
=
0,
d’où
f (X) = (X − a) m g (X) + m(X − a) m−1 g(X). Si m > 1, alors f (a) = 0;
si m = 1, alors f (X) = (X − a)g (X) + g(X), donc f (a) = g(a) = 0.
Proposition VIII.10.2. Si K est un corps de caractéristique nulle définition (cf. définition IX.1.3), pour que a ∈ K soit une racine d’ordre r d’un polynôme f ∈ K[X],
il faut et il suffit que
f (a) = f
(a) = . . . = f
(r−1) (a) = 0 et f
(r) (a) = 0.
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