Chapitre VIII. Anneaux de polynômes
Exercice VIII.18. Soit P (X) un polynôme de degré 2 ou 3, à coefficients dans un
anneau intègre A.
a) Montrer que si P (X) est unitaire, il est réductible si et seulement s’il possède
un zéro dans A.
b) Donner un exemple de polynôme non unitaire de Z[X] qui est réductible
mais qui ne possède pas de zéro dans Z.
Exercice VIII.19. Soit f (X) = a n X n + . . . + a 1 X + a 0 ∈ Z[X], a n = 0, n 1.
a) Montrer que si x =
p
q ∈ Q, avec p et q étrangers, est racine de f (X), alors
p divise a 0 et q divise a n .
b) En déduire les racines dans Q du polynôme f (X) = 6X 3 − 7X 2 − X + 2.
Théorème VIII.10.2. Soient A un anneau intègre et f (X) un polynôme non nul de
A[X]. Le nombre de racines distinctes de f (X) dans A[X] est au plus égal au
degré de f (X).
Démonstration. Soient a 1 , . . . , a n des racines distinctes de f (X) dans A. Montrons,
par récurrence sur n, que f (X) est divisible dans A[X] par (X − a 1 ) . . . (X − a n ).
D’après le théorème (VIII.10.1), l’assertion est vraie pour n = 1. Supposons qu’elle
soit vraie pour n − 1. On a f (X) = (X − a 1 ) . . . (x − a n−1 )g(X). L’anneau A étant
intègre et a n = a i , i < n, f (a n ) = 0 implique que g(a n ) = 0. Le polynôme g(X)
est donc divisible par (X − a n ), d’où le résultat.
Corollaire VIII.10.1. Soient A un anneau intègre et S une partie infinie de A. Si
f (X) est un polynôme de A[X] tel que f (a) = 0 pour tout a dans S, alors f (X)
est le polynôme nul.
Corollaire VIII.10.2. Soient A un anneau intègre et S 1 , . . . , S n des parties infinies de A. Si f (X 1 , . . . , X n ) est un polynôme de A[X 1 , . . . , X n ] tel que
f (a 1 , . . . , a n ) = 0 pour tout (a 1 , . . . , a n ) dans S 1 × . . . × S n , alors f (X) est le
polynôme nul.
Démonstration. On procède par récurrence sur n. Si n = 1, c’est le résultat précédent. On suppose le résultat vrai pour (n − 1) 1. Soit f (X 1 , . . . , X n ) un
polynôme de A[X 1 , . . . , X n ] tel que f (a 1 , . . . , a n ) = 0 pour tout (a 1 , . . . , a n ) dans
S 1 × . . . × S n . On écrit f (X 1 , . . . , X n ) suivant les puissances croissantes de X n ,
f (X 1 , . . . , X n ) =
s
i=0
g i (X 1 , . . . , X n−1 )X
i
n ,
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Exercice VIII.18. Soit P (X) un polynôme de degré 2 ou 3, à coefficients dans un
anneau intègre A.
a) Montrer que si P (X) est unitaire, il est réductible si et seulement s’il possède
un zéro dans A.
b) Donner un exemple de polynôme non unitaire de Z[X] qui est réductible
mais qui ne possède pas de zéro dans Z.
Exercice VIII.19. Soit f (X) = a n X n + . . . + a 1 X + a 0 ∈ Z[X], a n = 0, n 1.
a) Montrer que si x =
p
q ∈ Q, avec p et q étrangers, est racine de f (X), alors
p divise a 0 et q divise a n .
b) En déduire les racines dans Q du polynôme f (X) = 6X 3 − 7X 2 − X + 2.
Théorème VIII.10.2. Soient A un anneau intègre et f (X) un polynôme non nul de
A[X]. Le nombre de racines distinctes de f (X) dans A[X] est au plus égal au
degré de f (X).
Démonstration. Soient a 1 , . . . , a n des racines distinctes de f (X) dans A. Montrons,
par récurrence sur n, que f (X) est divisible dans A[X] par (X − a 1 ) . . . (X − a n ).
D’après le théorème (VIII.10.1), l’assertion est vraie pour n = 1. Supposons qu’elle
soit vraie pour n − 1. On a f (X) = (X − a 1 ) . . . (x − a n−1 )g(X). L’anneau A étant
intègre et a n = a i , i < n, f (a n ) = 0 implique que g(a n ) = 0. Le polynôme g(X)
est donc divisible par (X − a n ), d’où le résultat.
Corollaire VIII.10.1. Soient A un anneau intègre et S une partie infinie de A. Si
f (X) est un polynôme de A[X] tel que f (a) = 0 pour tout a dans S, alors f (X)
est le polynôme nul.
Corollaire VIII.10.2. Soient A un anneau intègre et S 1 , . . . , S n des parties infinies de A. Si f (X 1 , . . . , X n ) est un polynôme de A[X 1 , . . . , X n ] tel que
f (a 1 , . . . , a n ) = 0 pour tout (a 1 , . . . , a n ) dans S 1 × . . . × S n , alors f (X) est le
polynôme nul.
Démonstration. On procède par récurrence sur n. Si n = 1, c’est le résultat précédent. On suppose le résultat vrai pour (n − 1) 1. Soit f (X 1 , . . . , X n ) un
polynôme de A[X 1 , . . . , X n ] tel que f (a 1 , . . . , a n ) = 0 pour tout (a 1 , . . . , a n ) dans
S 1 × . . . × S n . On écrit f (X 1 , . . . , X n ) suivant les puissances croissantes de X n ,
f (X 1 , . . . , X n ) =
s
i=0
g i (X 1 , . . . , X n−1 )X
i
n ,
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