VIII.10. Racines – Ordre de multiplicité
Exemples VIII.9.1.
a) Soit a = 1 ∈ Z ∗ un élément sans facteur carré. Alors pour tout n 1, le
polynôme X n − a est irréductible dans Q[X].
b) Soit p un nombre premier. Alors le polynôme
f (X) = 1 + X + X
2 + . . . + X
p−1
est irréductible dans Q[X]. En effet, il suffit de montrer que f (X + 1) est irréductible dans Q[X]. On a
f (X + 1) = (X + 1)
p−1 + . . . + (X + 1) + 1 =
(X + 1) p − 1
(X + 1) − 1
=
1
X
X
p +
p−1
k=1
C
k
p X
k
= X
p−1 +
p−2
k=2
C
k+1
p
X
k + p
et C k
p est divisible par p. On peut donc appliquer le critère d’Eisenstein.
On verra aux TR.VIII.A, TR.VIII.B et TP.IX.A d’autres méthodes d’étude
de l’irréductibilité des polynômes, qui sont très utiles et efficaces.
VIII.10. Racines – Ordre de multiplicité
Définition VIII.10.1. Soient A un anneau, B un sur-anneau de A et
f (X 1 , . . . , X n ) un polynôme de A[X 1 , . . . , X n ]. Un n-uple (b 1 , . . . , b n ) ∈ B n
est un zéro (ou une racine si n = 1) de f si f (b 1 , . . . , b n ) = 0.
Théorème VIII.10.1. Soient A un anneau intègre, f (X) un polynôme de A[X] et
a un élément de A. Alors a est racine de f (X) si et seulement si (X − a) divise
f (X) dans A[X].
Démonstration. La division euclidienne de f (X) par (X − a) dans A[X],
f (X) = (X − a)q(X) + r(X)
montre que f (a) = 0 si et seulement si r(a) = 0. Or, deg(r) < 1 implique que
r(X) est une constante, par conséquent r(a) = 0 si et seulement si r(X) = 0.
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