Chapitre VIII. Anneaux de polynômes
Montrons que la condition est suffisante. Si p est un élément irréductible de
A, il est irréductible dans A[X] (vérification évidente). Soit P (X) ∈ A[X], irréductible dans K[X] et tel que c(P ) = 1. Supposons que P (X) = Q(X)R(X),
avec Q(X) ∈ A[X] et R(X) ∈ A[X]. Comme A[X] ⊂ K[X], on a deg(Q) = 0
ou deg(R) = 0. Supposons, pour fixer les idées, que ce soit deg(Q) = 0. Alors
Q(X) = a ∈ A et P (X) = aR(X). Puisque c(P ) = 1, on en déduit que a ∈ U(A)
et P est irréductible dans A[X].
Exercice VIII.17. Soient A un anneau principal, K son corps des fractions,
f (X) = X n + a n−1 X n−1 + . . . + a 1 X + a 0 ∈ A[X], avec a 0 = 0.
a) Montrer que, si x ∈ K est tel que f (x) = 0, alors x divise a 0 et x ∈ A.
b) En déduire que le polynôme X 3 − 5X 2 + 1 est irréductible dans Q[X].
Ce qui précède montre que l’étude de l’irréductibilité des polynômes à coefficients dans A se ramène à celle des polynômes à coefficients dans K. Ce qui suit a
pour but de donner quelques méthodes d’étude de l’irréductibilité des polynômes
de K[X].
Théorème VIII.9.2 (critère d’Eisenstein). Soient A un anneau principal et K son
corps des fractions. Soit f (X) = a 0 + . . . + a n X n un polynôme de A[X], n 1.
S’il existe un élément irréductible p de A tel que
a n ≡ 0 (mod p), a i ≡ 0 (mod p) i < n, a 0 ≡ 0 (mod p
2 ),
alors f (X) est irréductible dans K[X].
Démonstration. En mettant en facteur le pgcd des coefficients de f , on peut supposer que c(f ) = 1. Supposons que f (X) s’écrive comme produit de deux polynômes
de K[X], de degré supérieur ou égal à 1. D’après la remarque (VIII.9.1.a), on a
f (X) = g(X)h(X) dans A[X]. Posons
g(X) = b 0 + . . . + b p X
p , h(X) = c 0 + . . . + c q X
q ,
avec b p = 0, c q = 0, p 1, q 1.
Puisque b 0 c 0 = a 0 est divisible par p mais pas par p 2 , l’un et l’un seulement des
éléments b 0 ou c 0 est divisible par p. On peut supposer que b 0 n’est pas divisible
par p et que c 0 est divisible par p. Puisque a n = b p c q n’est pas divisible par p,
c q n’est pas divisible par p. On peut donc considérer r, r q < n, le plus petit
entier tel que c r ne soit pas divisible par p. Alors, a r = b 0 c r + b 1 c r−1 + . . . n’est
pas divisible par p, puisque p ne divise pas b 0 c r mais divise tous les autres termes
de la somme, ce qui est contraire à l’hypothèse.
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Montrons que la condition est suffisante. Si p est un élément irréductible de
A, il est irréductible dans A[X] (vérification évidente). Soit P (X) ∈ A[X], irréductible dans K[X] et tel que c(P ) = 1. Supposons que P (X) = Q(X)R(X),
avec Q(X) ∈ A[X] et R(X) ∈ A[X]. Comme A[X] ⊂ K[X], on a deg(Q) = 0
ou deg(R) = 0. Supposons, pour fixer les idées, que ce soit deg(Q) = 0. Alors
Q(X) = a ∈ A et P (X) = aR(X). Puisque c(P ) = 1, on en déduit que a ∈ U(A)
et P est irréductible dans A[X].
Exercice VIII.17. Soient A un anneau principal, K son corps des fractions,
f (X) = X n + a n−1 X n−1 + . . . + a 1 X + a 0 ∈ A[X], avec a 0 = 0.
a) Montrer que, si x ∈ K est tel que f (x) = 0, alors x divise a 0 et x ∈ A.
b) En déduire que le polynôme X 3 − 5X 2 + 1 est irréductible dans Q[X].
Ce qui précède montre que l’étude de l’irréductibilité des polynômes à coefficients dans A se ramène à celle des polynômes à coefficients dans K. Ce qui suit a
pour but de donner quelques méthodes d’étude de l’irréductibilité des polynômes
de K[X].
Théorème VIII.9.2 (critère d’Eisenstein). Soient A un anneau principal et K son
corps des fractions. Soit f (X) = a 0 + . . . + a n X n un polynôme de A[X], n 1.
S’il existe un élément irréductible p de A tel que
a n ≡ 0 (mod p), a i ≡ 0 (mod p) i < n, a 0 ≡ 0 (mod p
2 ),
alors f (X) est irréductible dans K[X].
Démonstration. En mettant en facteur le pgcd des coefficients de f , on peut supposer que c(f ) = 1. Supposons que f (X) s’écrive comme produit de deux polynômes
de K[X], de degré supérieur ou égal à 1. D’après la remarque (VIII.9.1.a), on a
f (X) = g(X)h(X) dans A[X]. Posons
g(X) = b 0 + . . . + b p X
p , h(X) = c 0 + . . . + c q X
q ,
avec b p = 0, c q = 0, p 1, q 1.
Puisque b 0 c 0 = a 0 est divisible par p mais pas par p 2 , l’un et l’un seulement des
éléments b 0 ou c 0 est divisible par p. On peut supposer que b 0 n’est pas divisible
par p et que c 0 est divisible par p. Puisque a n = b p c q n’est pas divisible par p,
c q n’est pas divisible par p. On peut donc considérer r, r q < n, le plus petit
entier tel que c r ne soit pas divisible par p. Alors, a r = b 0 c r + b 1 c r−1 + . . . n’est
pas divisible par p, puisque p ne divise pas b 0 c r mais divise tous les autres termes
de la somme, ce qui est contraire à l’hypothèse.
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