VIII.9. Irréductibilité des polynômes
Démonstration. Puisque f (X) = c(f )f 1 (X) et g(X) = c(g)g 1 (X), il suffit de montrer que si c(f ) = c(g) = 1, alors c(f g) = 1, avec f et g dans A[X]. Posons
f (X) = a 0 + . . . + a n X
n , a n = 0, et g(X) = b 0 + . . . + b m X
m , b m = 0.
Soit p un élément irréductible de A et soit r (resp. s) le plus petit entier compris
entre 0 et n (resp. m) tel que p ne divise pas a r (resp. b s ). Le coefficient de X r+s
dans f (X)g(X) est égal à
a r b s + a r+1 b s−1 + . . . + a r−1 b s+1 + . . .
Or p ne divise pas a r b s , mais divise tous les autres termes de cette somme, il ne
divise donc pas la somme.
Remarques VIII.9.1.
a) On déduit de ce qui précède que si f (X) ∈ A[X] s’écrit f (X) = g(X)h(X)
dans K[X], alors, en posant g(X) = c(g)g 1 (X), avec g 1 (X) ∈ A[X], et
h(X) = c(h)h 1 (X), avec h 1 (X) ∈ A[X], on a f (X) = c(g)c(h)g 1 (X)h 1 (X), où
c(g)c(h) est un élément de A. En effet, c(f ) = c(g)c(h)c(g 1 h 1 ) = c(g)c(h) et,
puisque f (X) ∈ A[X], c(f ) est un élément de A.
b) Il est clair que si f ∈ A[X] est un polynôme de degré strictement positif tel
que c(f ) = 1, (ou c(f ) non inversible dans A), f n’est pas irréductible dans A[X]
puisqu’il s’écrit f = c(f )f 1 , avec c(f ) et f 1 non inversibles. La condition c(f ) = 1
est donc nécessaire pour que le polynôme f soit irréductible dans A[X].
Théorème VIII.9.1. Soient A un anneau principal et K son corps des fractions. Un
polynôme f ∈ A[X] est irréductible dans A[X] si et seulement si f est un élément
irréductible de A, ou un polynôme de degré supérieur ou égal à 1 irréductible dans
K[X] et tel que c(f ) = 1.
Démonstration. Montrons que la condition est nécessaire. Soit P (X) ∈ A[X] un
polynôme irréductible dans A[X].
Si deg(P ) = 0, alors P (X) est un élément de A, irréductible par hypothèse.
Si deg(P ) > 0, alors c(P ) = 1 d’après la remarque (VIII.9.1.b). Montrons que
P est irréductible dans K[X]. Faisons un raisonnement par l’absurde : supposons
que P s’écrive P (X) = Q(X)R(X) avec Q(X) ∈ K[X] et R(X) ∈ K[X] non
nuls. D’après la remarque (VIII.9.1.a), on a P (X) = c(Q)c(R)Q 1 (X)R 1 (X) avec
Q 1 (X) ∈ A[X], R 1 (X) ∈ A[X] et c(Q)c(R) = c(P ) = 1. Par conséquent, P n’est
pas irréductible dans A[X], contrairement à l’hypothèse.
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Démonstration. Puisque f (X) = c(f )f 1 (X) et g(X) = c(g)g 1 (X), il suffit de montrer que si c(f ) = c(g) = 1, alors c(f g) = 1, avec f et g dans A[X]. Posons
f (X) = a 0 + . . . + a n X
n , a n = 0, et g(X) = b 0 + . . . + b m X
m , b m = 0.
Soit p un élément irréductible de A et soit r (resp. s) le plus petit entier compris
entre 0 et n (resp. m) tel que p ne divise pas a r (resp. b s ). Le coefficient de X r+s
dans f (X)g(X) est égal à
a r b s + a r+1 b s−1 + . . . + a r−1 b s+1 + . . .
Or p ne divise pas a r b s , mais divise tous les autres termes de cette somme, il ne
divise donc pas la somme.
Remarques VIII.9.1.
a) On déduit de ce qui précède que si f (X) ∈ A[X] s’écrit f (X) = g(X)h(X)
dans K[X], alors, en posant g(X) = c(g)g 1 (X), avec g 1 (X) ∈ A[X], et
h(X) = c(h)h 1 (X), avec h 1 (X) ∈ A[X], on a f (X) = c(g)c(h)g 1 (X)h 1 (X), où
c(g)c(h) est un élément de A. En effet, c(f ) = c(g)c(h)c(g 1 h 1 ) = c(g)c(h) et,
puisque f (X) ∈ A[X], c(f ) est un élément de A.
b) Il est clair que si f ∈ A[X] est un polynôme de degré strictement positif tel
que c(f ) = 1, (ou c(f ) non inversible dans A), f n’est pas irréductible dans A[X]
puisqu’il s’écrit f = c(f )f 1 , avec c(f ) et f 1 non inversibles. La condition c(f ) = 1
est donc nécessaire pour que le polynôme f soit irréductible dans A[X].
Théorème VIII.9.1. Soient A un anneau principal et K son corps des fractions. Un
polynôme f ∈ A[X] est irréductible dans A[X] si et seulement si f est un élément
irréductible de A, ou un polynôme de degré supérieur ou égal à 1 irréductible dans
K[X] et tel que c(f ) = 1.
Démonstration. Montrons que la condition est nécessaire. Soit P (X) ∈ A[X] un
polynôme irréductible dans A[X].
Si deg(P ) = 0, alors P (X) est un élément de A, irréductible par hypothèse.
Si deg(P ) > 0, alors c(P ) = 1 d’après la remarque (VIII.9.1.b). Montrons que
P est irréductible dans K[X]. Faisons un raisonnement par l’absurde : supposons
que P s’écrive P (X) = Q(X)R(X) avec Q(X) ∈ K[X] et R(X) ∈ K[X] non
nuls. D’après la remarque (VIII.9.1.a), on a P (X) = c(Q)c(R)Q 1 (X)R 1 (X) avec
Q 1 (X) ∈ A[X], R 1 (X) ∈ A[X] et c(Q)c(R) = c(P ) = 1. Par conséquent, P n’est
pas irréductible dans A[X], contrairement à l’hypothèse.
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