Chapitre VIII. Anneaux de polynômes
On suppose qu’on a réduit
d
b de telle sorte que d et b soient étrangers. On a donc
c(f ) = c(
d
b f 1 ) =
d
b c(f 1 ). Puisque les coefficients de f 1 sont étrangers, il est évident
que c(f 1 ) = 1. On en déduit donc que c(f ) =
d
b .
Autrement dit, pour tout polynôme f (X)
∈
K[X], l’écriture
f (X) = c(f )f 1 (X) consiste à « réduire au même dénominateur » et à « mettre
en facteur les facteurs communs aux coefficients ».
Autrement dit, pour un polynôme f ∈ A[X], montrer que c(f ) = 1 revient
à montrer qu’il n’existe aucun élément irréductible p de A qui divise tous les
coefficients de f .
Lemme VIII.9.1 (de Gauss). Soient a un élément irréductible d’un anneau principal
A, f ∈ A[X] et g ∈ A[X]. Si a divise le produit f g, alors a divise f ou a divise g.
Démonstration. Écrivons
f (X) = b 0 + b 1 X + . . . + b n X
n , g(X) = c 0 + c 1 X + . . . + c m X
m .
Si n = m = 0, le résultat est clair d’après la définition d’un anneau principal. On
suppose que n = 0 ou m = 0 et que a ne divise ni f , ni g. De manière générale, un
élément a d’un anneau intègre A divise un polynôme f ∈ A[X] si et seulement si
a divise chaque coefficient de f . Il existe donc un coefficient b i 0 = 0 qui n’est pas
divisible par a. On peut donc considérer k le plus petit entier, 0 k n, tel que
a ne divise pas b k , i.e. a divise b i pour i < k. De la même manière, on considère le
plus petit entier h tel que a divise c i pour i < h. Le coefficient du terme de degré
h + k de f g est
b 0 c h+k + b 1 c h+k−1 + . . . + b k c h + . . . + b h+k c 0 .
L’élément a divise tous les termes de cette somme sauf le terme b k c h ; par conséquent a ne divise pas le coefficient du terme de degré h + k de f g, il ne divise
donc pas f g.
Lemme VIII.9.2. Soient A un anneau principal, f ∈ A[X], g ∈ A[X] et a un
élément de A qui divise le produit f g. Si f est irréductible, alors a divise g.
Démonstration. On applique le lemme précédent à tous les facteurs irréductibles
de a.
Lemme VIII.9.3. Soient A un anneau principal et K son corps des fractions. Soient
f et g deux éléments de K[X], alors c(f g) = c(f )c(g).
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On suppose qu’on a réduit
d
b de telle sorte que d et b soient étrangers. On a donc
c(f ) = c(
d
b f 1 ) =
d
b c(f 1 ). Puisque les coefficients de f 1 sont étrangers, il est évident
que c(f 1 ) = 1. On en déduit donc que c(f ) =
d
b .
Autrement dit, pour tout polynôme f (X)
∈
K[X], l’écriture
f (X) = c(f )f 1 (X) consiste à « réduire au même dénominateur » et à « mettre
en facteur les facteurs communs aux coefficients ».
Autrement dit, pour un polynôme f ∈ A[X], montrer que c(f ) = 1 revient
à montrer qu’il n’existe aucun élément irréductible p de A qui divise tous les
coefficients de f .
Lemme VIII.9.1 (de Gauss). Soient a un élément irréductible d’un anneau principal
A, f ∈ A[X] et g ∈ A[X]. Si a divise le produit f g, alors a divise f ou a divise g.
Démonstration. Écrivons
f (X) = b 0 + b 1 X + . . . + b n X
n , g(X) = c 0 + c 1 X + . . . + c m X
m .
Si n = m = 0, le résultat est clair d’après la définition d’un anneau principal. On
suppose que n = 0 ou m = 0 et que a ne divise ni f , ni g. De manière générale, un
élément a d’un anneau intègre A divise un polynôme f ∈ A[X] si et seulement si
a divise chaque coefficient de f . Il existe donc un coefficient b i 0 = 0 qui n’est pas
divisible par a. On peut donc considérer k le plus petit entier, 0 k n, tel que
a ne divise pas b k , i.e. a divise b i pour i < k. De la même manière, on considère le
plus petit entier h tel que a divise c i pour i < h. Le coefficient du terme de degré
h + k de f g est
b 0 c h+k + b 1 c h+k−1 + . . . + b k c h + . . . + b h+k c 0 .
L’élément a divise tous les termes de cette somme sauf le terme b k c h ; par conséquent a ne divise pas le coefficient du terme de degré h + k de f g, il ne divise
donc pas f g.
Lemme VIII.9.2. Soient A un anneau principal, f ∈ A[X], g ∈ A[X] et a un
élément de A qui divise le produit f g. Si f est irréductible, alors a divise g.
Démonstration. On applique le lemme précédent à tous les facteurs irréductibles
de a.
Lemme VIII.9.3. Soient A un anneau principal et K son corps des fractions. Soient
f et g deux éléments de K[X], alors c(f g) = c(f )c(g).
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