VIII.9. Irréductibilité des polynômes
Dans tout ce paragraphe, A est un anneau principal et K est son corps des
fractions.
Soit p un élément irréductible (ou premier) d’un ensemble complet P d’éléments irréductibles de A. Pour tout élément a de K ∗ , on peut écrire a = p r b,
b ∈ K ∗ , r ∈ Z, p ne divisant ni le numérateur ni le dénominateur de b. L’unicité
de la décomposition en produit de facteurs irréductibles dans A implique que l’entier r ainsi défini est unique. On pose r = ord p (a) et on appelle cet entier l’ordre
de a en p. Si a est nul, on pose ord p (a) = −∞ pour tout p.
Il est clair que
∀a, a
∈ K, ord p (aa
) = ord p (a) + ord p (a
).
Soit f (X) = a 0 + a 1 X + . . . + a n X n un élément de K[X]. Si f = 0, on pose
ord p (f ) = −∞, si f = 0, on pose ord p (f ) = inf i (ord p (a i )), le inf étant pris sur
les i tels que a i = 0. On pose alors
c(f ) =
p∈P
p
ordp(f )
le produit étant pris sur tous les p tels que ord p (f ) = 0.
On notera que c(f ) est défini à un élément inversible de A près. Si
f (x) =
n
i=0
a i X
i
∈ A[X],
alors c(f ) = pgcd(a i ) 0in , le pgcd étant pris sur les coefficients non nuls de f .
Il est clair que si b est un élément de K ∗ , alors c(bf ) = bc(f ). On peut donc
écrire f (X) = c(f )f 1 (X), avec c(f 1 ) = 1 et f 1 ∈ A[X]. En effet, écrivons
f (X) =
n
i=0
a i
b i
X
i ,
avec a i , b i = 0 dans A. Notons b un ppcm des b i , 0 i n, alors f s’écrit
f (X) =
1
b
n
i=0
a
i X
i .
En posant a
i = da
i , où d est un pgcd des a
i , 0 i n, on obtient
f (X) =
d
b
f 1 (X), avec f 1 (X) =
n
i=0
a
i X
i .
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