Chapitre VIII. Anneaux de polynômes
Proposition VIII.8.2.
(i) Soient a 1 , . . . , a n des éléments d’un anneau principal A et d un pgcd de
ces éléments. Posons a i = da
i , i = 1, . . . , n. Les éléments a
i , i = 1, . . . , n, sont
étrangers.
(ii) Si a 1 , . . . , a n sont des éléments étrangers deux à deux d’un anneau principal, le produit a 1 , . . . , a n est un ppcm de a 1 , . . . , a n .
Démonstration. Laissée au lecteur à titre d’exercice.
On a les propriétés plus précises suivantes.
Théorème VIII.8.2 (de Bezout). Soient a 1 , . . . , a n , d des éléments d’un anneau
principal. Les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) d est un pgcd de a 1 , . . . , a n
(ii) d est un générateur de l’idéal de A engendré par les éléments a 1 , . . . , a n .
Démonstration. Si d = pgcd(a 1 , . . . , a n ), alors l’idéal (a 1 , . . . , a n ) est contenu dans
l’idéal (d). Puisque A est un anneau principal, il existe un élément b ∈ A tel que
(a 1 , . . . , a n ) = (b), d’où b divise les éléments a i , i = 1, . . . , n, et par conséquent b
divise d, i.e. (d) est contenu dans (b). On en déduit que (d) = (a 1 , . . . , a n ).
Soit d un élément de A tel que (d) = (a 1 , . . . , a n ). Alors, pour tout i = 1, . . . , n,
d divise a i . Soit b un élément de A divisant les éléments a i , i = 1, . . . , n. Alors,
(d) = (a 1 , . . . , a n ) est contenu dans (b), donc b divise d. On en déduit que d est
un pgcd de a 1 , . . . , a n .
Théorème VIII.8.3. Soient a 1 , . . . , a n , m des éléments d’un anneau principal A.
Les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) m est un ppcm de a 1 , . . . , a n
(ii) m est un générateur de l’idéal
n
i=1 (a i ).
Démonstration. Laissée au lecteur à titre d’exercice.
VIII.9. Irréductibilité des polynômes
Nous avons vu, dans les paragraphes précédents, l’importance de l’existence,
dans un anneau, d’éléments irréductibles. Nous allons ici nous intéresser au
cas des anneaux de polynômes, donc essayer de déterminer les polynômes
irréductibles.
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Proposition VIII.8.2.
(i) Soient a 1 , . . . , a n des éléments d’un anneau principal A et d un pgcd de
ces éléments. Posons a i = da
i , i = 1, . . . , n. Les éléments a
i , i = 1, . . . , n, sont
étrangers.
(ii) Si a 1 , . . . , a n sont des éléments étrangers deux à deux d’un anneau principal, le produit a 1 , . . . , a n est un ppcm de a 1 , . . . , a n .
Démonstration. Laissée au lecteur à titre d’exercice.
On a les propriétés plus précises suivantes.
Théorème VIII.8.2 (de Bezout). Soient a 1 , . . . , a n , d des éléments d’un anneau
principal. Les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) d est un pgcd de a 1 , . . . , a n
(ii) d est un générateur de l’idéal de A engendré par les éléments a 1 , . . . , a n .
Démonstration. Si d = pgcd(a 1 , . . . , a n ), alors l’idéal (a 1 , . . . , a n ) est contenu dans
l’idéal (d). Puisque A est un anneau principal, il existe un élément b ∈ A tel que
(a 1 , . . . , a n ) = (b), d’où b divise les éléments a i , i = 1, . . . , n, et par conséquent b
divise d, i.e. (d) est contenu dans (b). On en déduit que (d) = (a 1 , . . . , a n ).
Soit d un élément de A tel que (d) = (a 1 , . . . , a n ). Alors, pour tout i = 1, . . . , n,
d divise a i . Soit b un élément de A divisant les éléments a i , i = 1, . . . , n. Alors,
(d) = (a 1 , . . . , a n ) est contenu dans (b), donc b divise d. On en déduit que d est
un pgcd de a 1 , . . . , a n .
Théorème VIII.8.3. Soient a 1 , . . . , a n , m des éléments d’un anneau principal A.
Les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) m est un ppcm de a 1 , . . . , a n
(ii) m est un générateur de l’idéal
n
i=1 (a i ).
Démonstration. Laissée au lecteur à titre d’exercice.
VIII.9. Irréductibilité des polynômes
Nous avons vu, dans les paragraphes précédents, l’importance de l’existence,
dans un anneau, d’éléments irréductibles. Nous allons ici nous intéresser au
cas des anneaux de polynômes, donc essayer de déterminer les polynômes
irréductibles.
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