VIII.8. Divisibilité
La démonstration pour les ppcm est analogue.
Remarque VIII.8.1. On peut aussi énoncer la proposition précédente de la façon
suivante : si deux éléments d’un anneau intègre admettent un pgcd (resp. ppcm),
il est unique à la multiplication par un élément inversible près.
Théorème VIII.8.1. Soient deux éléments quelconques, non nuls, a et b d’un anneau
principal A.
(i) Ils ont un pgcd et un ppcm dans A.
(ii) Il existe un pgcd d et un ppcm m de a et b tels que ab = dm.
Démonstration. Le résultat est évident si les éléments a ou b sont inversibles. Soient
a et b des élément non nuls et non inversibles : on a
a = u
i∈I
p
α i
i
, b = v
j∈J
p
β j
j
où u et v sont des éléments inversibles de A, les p i et p j sont des éléments irréductibles, α i et β j sont des entiers positifs. En acceptant que des α i et β j soient
éventuellement nuls, on peut supposer que I = J. Alors,
k∈I
p
γ k
k
,
k∈I
p
δ k
k
avec
γ k = inf (α k , β k ) , δ k = sup(α k , β k )
sont respectivement un pgcd et un ppcm de a et b. Si l’on pose
d = u
k∈I
p
γ k
k
, m = v
k∈I
p
δ k
k
on a dm = ab.
Remarque VIII.8.2. La définition d’un pgcd (resp. ppcm) de deux éléments d’un
anneau s’étend clairement à une famille finie d’éléments a 1 , . . . , a n de A. Le même
procédé que celui montrant l’existence d’un pgcd (resp. ppcm) de deux éléments
d’un anneau principal, montre l’existence d’un pgcd (resp. ppcm) d’une famille
finie d’éléments.
Définition VIII.8.2. Des éléments a 1 , . . . , a n d’un anneau principal A sont dits
étrangers s’ils admettent l’unité de A pour pgcd.
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