Chapitre VIII. Anneaux de polynômes
ou nuls, non nuls pour un nombre fini de p, et c = v
p∈P p
n
p , avec v inversible
et n
p entiers positifs ou nuls, non nuls pour un nombre fini de p. Puisque q|bc, on
a n q + n
q 1, donc n q 1 ou n
q 1 et q|b ou q|c.
Remarques VIII.7.5. Nous allons ici préciser la remarque VIII.7.3.b. Soit A un
anneau principal, il existe un ensemble P d’éléments irréductibles de A tel que :
(i) ∀p, q ∈ P, si p = q, alors ∀u ∈ U(A), q = up
(ii) Tout élément irréductible de A est multiple d’un unique élément de P par
un élément inversible de A
(iii) Tout élément a de A, non nul et non inversible, s’écrit de manière unique
a = u p
α 1
1 . . . p αn
n , où u ∈ U(A) et p i ∈ P, i = 1, . . . , n, α i ∈ N ∗ , i = 1, . . . , n.
Un tel ensemble P, qui est un système de représentants des classes d’éléments
irréductibles modulo les éléments inversibles, est appelé ensemble complet d’éléments irréductibles.
VIII.8. Divisibilité
Définition VIII.8.1. Soient a et b deux éléments d’un anneau A.
a) On appelle plus grand diviseur commun de a et b, et on note
pgcd(a, b), tout élément d de A vérifiant les deux propriétés suivantes :
(i) d|a et d|b
(ii) ∀x ∈ A tel que x|a et x|b, alors x|d.
b) On appelle plus petit commun multiple de a et b, et on note
ppcm(a, b), tout élément m de A vérifiant les propriétés suivantes :
(i) a|m et b|m
(ii) ∀x ∈ A tel que a|x et b|x, alors m|x.
Proposition VIII.8.1. Soient a et b deux éléments d’un anneau intègre A. Alors, si
d et d (resp. m et m ) sont deux pgcd (resp. ppcm) de a et b, il existe un élément
u inversible de A tel que d = ud (resp. m = um).
Démonstration. Soient d et d deux pgcd de a et b. Alors, puisque d est un diviseur
de a et b, d divise d et, pour les mêmes raisons, d divise d. Par conséquent, il
existe des éléments u et v de A tels que d = ud et d = vd . On a donc d = uvd,
i.e. d(1 − uv) = 0 et, puisque A est intègre, u et v sont inversibles.
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ou nuls, non nuls pour un nombre fini de p, et c = v
p∈P p
n
p , avec v inversible
et n
p entiers positifs ou nuls, non nuls pour un nombre fini de p. Puisque q|bc, on
a n q + n
q 1, donc n q 1 ou n
q 1 et q|b ou q|c.
Remarques VIII.7.5. Nous allons ici préciser la remarque VIII.7.3.b. Soit A un
anneau principal, il existe un ensemble P d’éléments irréductibles de A tel que :
(i) ∀p, q ∈ P, si p = q, alors ∀u ∈ U(A), q = up
(ii) Tout élément irréductible de A est multiple d’un unique élément de P par
un élément inversible de A
(iii) Tout élément a de A, non nul et non inversible, s’écrit de manière unique
a = u p
α 1
1 . . . p αn
n , où u ∈ U(A) et p i ∈ P, i = 1, . . . , n, α i ∈ N ∗ , i = 1, . . . , n.
Un tel ensemble P, qui est un système de représentants des classes d’éléments
irréductibles modulo les éléments inversibles, est appelé ensemble complet d’éléments irréductibles.
VIII.8. Divisibilité
Définition VIII.8.1. Soient a et b deux éléments d’un anneau A.
a) On appelle plus grand diviseur commun de a et b, et on note
pgcd(a, b), tout élément d de A vérifiant les deux propriétés suivantes :
(i) d|a et d|b
(ii) ∀x ∈ A tel que x|a et x|b, alors x|d.
b) On appelle plus petit commun multiple de a et b, et on note
ppcm(a, b), tout élément m de A vérifiant les propriétés suivantes :
(i) a|m et b|m
(ii) ∀x ∈ A tel que a|x et b|x, alors m|x.
Proposition VIII.8.1. Soient a et b deux éléments d’un anneau intègre A. Alors, si
d et d (resp. m et m ) sont deux pgcd (resp. ppcm) de a et b, il existe un élément
u inversible de A tel que d = ud (resp. m = um).
Démonstration. Soient d et d deux pgcd de a et b. Alors, puisque d est un diviseur
de a et b, d divise d et, pour les mêmes raisons, d divise d. Par conséquent, il
existe des éléments u et v de A tels que d = ud et d = vd . On a donc d = uvd,
i.e. d(1 − uv) = 0 et, puisque A est intègre, u et v sont inversibles.
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