VIII.7. Anneaux principaux
D’après la condition (i), il existe un i 0 , 1 i 0 r + s, et un élément inversible
u i 0 de A tels que a = u i 0 p i 0 . On en déduit que si 1 i 0 r, alors a divise b et si
r + 1 i 0 r + s, alors a divise c.
Montrons que (ii) implique (i). Soit a = p 1 . . . p n = q 1 . . . q m , où les éléments
p 1 , . . . , p n , q 1 , . . . , q m sont des éléments irréductibles de A. Il s’agit de montrer
que m = n et que, pour tout i, il existe une permutation σ ∈ S n et un élément
inversible u i tels que q i = u i p σ(i) . On procède par récurrence sur n + m : si
n + m = 2, alors p 1 = q 1 . Supposons le résultat établi pour n + m < n + m ;
comme q 1 |p 1 . . . p n et que q 1 est irréductible, d’après (ii) q 1 |p j pour un certain j et
il existe u 1 tel que q 1 = u 1 p j . On peut donc appliquer l’hypothèse de récurrence
à q 2 . . . q m et p 1 . . . p j−1 p j+1 . . . p n : on a n − 1 = m − 1, il existe une permutation
μ ∈ S n−1 et des éléments inversibles u 2 , . . . , u n tels que q i = u i p μ(i) . On a donc
n = m et on étend μ en un élément σ ∈ S n en posant σ(1) = j et σ(i) = μ(i)
pour i = 2, . . . , n.
Théorème VIII.7.4. Soit A un anneau principal, alors :
(i) Chaque élément non nul et non inversible de A s’écrit comme produit fini
d’éléments irréductibles de A
(ii) Les deux assertions équivalentes de la proposition VIII.7.3 sont vérifiées.
Démonstration. (i). Si A est un corps, l’ensemble des éléments non nuls et non
inversibles est vide et toutes les assertions ci-dessus sont vérifiées. On suppose
donc que A n’est pas un corps.
Soient a un élément non nul et non inversible de A. Si a est irréductible, l’assertion est vérifiée. Supposons que a est non irréductible : montrons d’abord que a
admet un facteur irréductible. S’il n’en admettait pas, on pourrait écrire a = a 1 b 1
avec a 1 et b 1 non inversibles. De la même manière, on aurait a 1 = a 2 b 2 avec a 2 et
b 2 non inversibles. En réitérant ce procédé, on aurait une suite d’éléments a i avec
a i |a i+1 et, pour tout i, a i = u i a i+1 avec u i inversible. Autrement dit, on aurait
une suite strictement croissante d’idéaux {(a)} i∈N , ce qui est en contradiction
avec le fait que A est un anneau principal, d’après le théorème (VIII.7.3). Ceci
montre que a = p 1 a 1 avec p 1 irréductible : si a 1 est inversible, c’est terminé. Sinon,
on a a 1 = p 2 a 2 avec p 2 irréductible. Ce processus s’arrête au bout d’un nombre
fini d’étapes, sinon on aurait à nouveau une suite strictement croissante d’idéaux
{(a)} i∈N . Il existe donc un entier n tel que a = a n p 1 . . . p n , avec a n inversible et
p 1 , . . . , p n irréductibles.
(ii). Supposons que q soit un élément irréductible de A et que q|bc. D’après
l’assertion (i), on peut écrire b = u
p∈P p np , avec u inversible et n p entiers positifs
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D’après la condition (i), il existe un i 0 , 1 i 0 r + s, et un élément inversible
u i 0 de A tels que a = u i 0 p i 0 . On en déduit que si 1 i 0 r, alors a divise b et si
r + 1 i 0 r + s, alors a divise c.
Montrons que (ii) implique (i). Soit a = p 1 . . . p n = q 1 . . . q m , où les éléments
p 1 , . . . , p n , q 1 , . . . , q m sont des éléments irréductibles de A. Il s’agit de montrer
que m = n et que, pour tout i, il existe une permutation σ ∈ S n et un élément
inversible u i tels que q i = u i p σ(i) . On procède par récurrence sur n + m : si
n + m = 2, alors p 1 = q 1 . Supposons le résultat établi pour n + m < n + m ;
comme q 1 |p 1 . . . p n et que q 1 est irréductible, d’après (ii) q 1 |p j pour un certain j et
il existe u 1 tel que q 1 = u 1 p j . On peut donc appliquer l’hypothèse de récurrence
à q 2 . . . q m et p 1 . . . p j−1 p j+1 . . . p n : on a n − 1 = m − 1, il existe une permutation
μ ∈ S n−1 et des éléments inversibles u 2 , . . . , u n tels que q i = u i p μ(i) . On a donc
n = m et on étend μ en un élément σ ∈ S n en posant σ(1) = j et σ(i) = μ(i)
pour i = 2, . . . , n.
Théorème VIII.7.4. Soit A un anneau principal, alors :
(i) Chaque élément non nul et non inversible de A s’écrit comme produit fini
d’éléments irréductibles de A
(ii) Les deux assertions équivalentes de la proposition VIII.7.3 sont vérifiées.
Démonstration. (i). Si A est un corps, l’ensemble des éléments non nuls et non
inversibles est vide et toutes les assertions ci-dessus sont vérifiées. On suppose
donc que A n’est pas un corps.
Soient a un élément non nul et non inversible de A. Si a est irréductible, l’assertion est vérifiée. Supposons que a est non irréductible : montrons d’abord que a
admet un facteur irréductible. S’il n’en admettait pas, on pourrait écrire a = a 1 b 1
avec a 1 et b 1 non inversibles. De la même manière, on aurait a 1 = a 2 b 2 avec a 2 et
b 2 non inversibles. En réitérant ce procédé, on aurait une suite d’éléments a i avec
a i |a i+1 et, pour tout i, a i = u i a i+1 avec u i inversible. Autrement dit, on aurait
une suite strictement croissante d’idéaux {(a)} i∈N , ce qui est en contradiction
avec le fait que A est un anneau principal, d’après le théorème (VIII.7.3). Ceci
montre que a = p 1 a 1 avec p 1 irréductible : si a 1 est inversible, c’est terminé. Sinon,
on a a 1 = p 2 a 2 avec p 2 irréductible. Ce processus s’arrête au bout d’un nombre
fini d’étapes, sinon on aurait à nouveau une suite strictement croissante d’idéaux
{(a)} i∈N . Il existe donc un entier n tel que a = a n p 1 . . . p n , avec a n inversible et
p 1 , . . . , p n irréductibles.
(ii). Supposons que q soit un élément irréductible de A et que q|bc. D’après
l’assertion (i), on peut écrire b = u
p∈P p np , avec u inversible et n p entiers positifs
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