Chapitre VIII. Anneaux de polynômes
Démonstration. (i). Si l’idéal (a) est maximal, il est premier, l’élément a est donc
premier, et par conséquent irréductible.
(ii). Supposons que l’élément a soit irréductible et que l’anneau A soit principal. Supposons qu’il existe un idéal I = (b) de A tel que (a) ⊆ I. Alors a = bc et,
puisque a est irréductible, b ou c est inversible. Si b est inversible, alors (b) = A
et si c est inversible, alors b = ac −1 et (b) = (a). On en déduit que l’idéal (a) est
maximal.
Remarque VIII.7.4. Un idéal maximal étant premier, ce qui précède montre que,
dans un anneau principal, les éléments premiers (resp. les idéaux premiers non
nuls) et les éléments irréductibles (resp. les idéaux maximaux) coïncident. En
particulier, si K est un corps et si f est un polynôme de K[X], on a les équivalences
suivantes :
f est irréductible ⇔ K[X]/(f ) est un corps ⇔ K[X]/(f ) est intègre.
Exercice VIII.16. Montrer que l’anneau A[X] est principal si et seulement si A est
un corps.
Proposition VIII.7.3. Soit A un anneau intègre dans lequel tout élément non nul et
non inversible est produit fini d’éléments irréductibles de A. Alors les assertions
suivantes sont équivalentes :
(i) Si a est un élément non nul et non inversible de A et si a = p 1 . . . p n =
q 1 . . . q m , où les éléments p 1 , . . . , p n , q 1 , . . . , q m sont des éléments irréductibles
de A, alors m = n et il existe une permutation σ ∈ S n et des éléments inversibles
de A, u 1 , . . . , u n , tels que q i = u i p σ(i) , i = 1, . . . , n
(ii) Si a est un élément irréductible de A, alors a est un élément premier.
Démonstration. Montrons que (i) implique (ii). Soient b et c deux éléments non
nuls de A et supposons que a divise bc. Si b (resp. c) est inversible, il est évident
que a divise c (resp. b). On suppose donc que b et c sont non inversibles. On a
alors bc = ad avec d non inversible, sinon l’élément a étant irréductible, on aurait
b ou c inversible. On a donc
b = p 1 . . . p r , c = p r+1 . . . p r+s , d = q 1 . . . q t
où les p i et q j , 1 i r + s, 1 j t, sont des éléments irréductibles de A.
L’égalité bc = ad s’écrit alors
p 1 . . . p r p r+1 . . . p r+s = aq 1 . . . q t .
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Démonstration. (i). Si l’idéal (a) est maximal, il est premier, l’élément a est donc
premier, et par conséquent irréductible.
(ii). Supposons que l’élément a soit irréductible et que l’anneau A soit principal. Supposons qu’il existe un idéal I = (b) de A tel que (a) ⊆ I. Alors a = bc et,
puisque a est irréductible, b ou c est inversible. Si b est inversible, alors (b) = A
et si c est inversible, alors b = ac −1 et (b) = (a). On en déduit que l’idéal (a) est
maximal.
Remarque VIII.7.4. Un idéal maximal étant premier, ce qui précède montre que,
dans un anneau principal, les éléments premiers (resp. les idéaux premiers non
nuls) et les éléments irréductibles (resp. les idéaux maximaux) coïncident. En
particulier, si K est un corps et si f est un polynôme de K[X], on a les équivalences
suivantes :
f est irréductible ⇔ K[X]/(f ) est un corps ⇔ K[X]/(f ) est intègre.
Exercice VIII.16. Montrer que l’anneau A[X] est principal si et seulement si A est
un corps.
Proposition VIII.7.3. Soit A un anneau intègre dans lequel tout élément non nul et
non inversible est produit fini d’éléments irréductibles de A. Alors les assertions
suivantes sont équivalentes :
(i) Si a est un élément non nul et non inversible de A et si a = p 1 . . . p n =
q 1 . . . q m , où les éléments p 1 , . . . , p n , q 1 , . . . , q m sont des éléments irréductibles
de A, alors m = n et il existe une permutation σ ∈ S n et des éléments inversibles
de A, u 1 , . . . , u n , tels que q i = u i p σ(i) , i = 1, . . . , n
(ii) Si a est un élément irréductible de A, alors a est un élément premier.
Démonstration. Montrons que (i) implique (ii). Soient b et c deux éléments non
nuls de A et supposons que a divise bc. Si b (resp. c) est inversible, il est évident
que a divise c (resp. b). On suppose donc que b et c sont non inversibles. On a
alors bc = ad avec d non inversible, sinon l’élément a étant irréductible, on aurait
b ou c inversible. On a donc
b = p 1 . . . p r , c = p r+1 . . . p r+s , d = q 1 . . . q t
où les p i et q j , 1 i r + s, 1 j t, sont des éléments irréductibles de A.
L’égalité bc = ad s’écrit alors
p 1 . . . p r p r+1 . . . p r+s = aq 1 . . . q t .
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