VIII.7. Anneaux principaux
Définition VIII.7.2. Soient A un anneau intègre et a un élément non nul de A.
a) L’élément a est dit irréductible s’il n’est pas inversible et si l’égalité
a = bc, (b, c) ∈ A × A, implique que b ou c est un élément inversible de A.
b) L’élément a est dit premier si l’idéal (a) est premier.
Remarques VIII.7.3.
a) D’après la définition d’un idéal premier, définition (VIII.3.2), un élément
a ∈ A est premier s’il est non nul et non inversible et vérifie
a|bc =⇒ (a|b ou a|c).
b) Un élément a d’un anneau A est irréductible (resp. premier) si et seulement
si, pour tout élément inversible u de A, ua est irréductible (resp. premier, d’après
la remarque (VIII.7.1)) dans A. Par conséquent, on considérera les éléments irréductibles (resp. premiers) d’un anneau, « aux inversibles près ». Il est facile de
vérifier que ceci définit une relation d’équivalence sur l’ensemble des éléments irréductibles (resp. premiers) de l’anneau A. Dans la suite, on notera P un système
de représentants des classes pour cette relation d’équivalence.
Proposition VIII.7.1. Si A est un anneau intègre, tout élément premier non nul est
irréductible.
Démonstration. Puisque l’idéal (a) est premier, on a (a) = A, donc a est non
inversible dans A. Si a = bc, alors b ∈ (a) ou c ∈ (a) puisque (a) est un idéal
premier. Si b ∈ (a), alors b = ua, d’où a = bc = uac et a(1 − uc) = 0. Puisque
l’anneau A est intègre, on a (1 − uc) = 0, ce qui signifie que c est inversible. Si
c’est c qui appartient à (a), le même raisonnement montre que b est inversible.
Attention. La réciproque est fausse (cf. exercice VIII.15 ci-dessous). Cependant, voir la remarque VIII.7.4 ci-dessous.
Exercice VIII.15. Soient K un corps et A le sous-anneau de K[X, Y ] formé des
polynômes dont le degré total est pair. Montrer que l’élément XY est irréductible
dans A, mais pas premier.
Proposition VIII.7.2. Soient A un anneau intègre et a = 0 un élément de A.
(i) Si l’idéal (a) est maximal, l’élément a est irréductible.
(ii) Si A est principal et si a est irréductible, l’idéal (a) est maximal.
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Définition VIII.7.2. Soient A un anneau intègre et a un élément non nul de A.
a) L’élément a est dit irréductible s’il n’est pas inversible et si l’égalité
a = bc, (b, c) ∈ A × A, implique que b ou c est un élément inversible de A.
b) L’élément a est dit premier si l’idéal (a) est premier.
Remarques VIII.7.3.
a) D’après la définition d’un idéal premier, définition (VIII.3.2), un élément
a ∈ A est premier s’il est non nul et non inversible et vérifie
a|bc =⇒ (a|b ou a|c).
b) Un élément a d’un anneau A est irréductible (resp. premier) si et seulement
si, pour tout élément inversible u de A, ua est irréductible (resp. premier, d’après
la remarque (VIII.7.1)) dans A. Par conséquent, on considérera les éléments irréductibles (resp. premiers) d’un anneau, « aux inversibles près ». Il est facile de
vérifier que ceci définit une relation d’équivalence sur l’ensemble des éléments irréductibles (resp. premiers) de l’anneau A. Dans la suite, on notera P un système
de représentants des classes pour cette relation d’équivalence.
Proposition VIII.7.1. Si A est un anneau intègre, tout élément premier non nul est
irréductible.
Démonstration. Puisque l’idéal (a) est premier, on a (a) = A, donc a est non
inversible dans A. Si a = bc, alors b ∈ (a) ou c ∈ (a) puisque (a) est un idéal
premier. Si b ∈ (a), alors b = ua, d’où a = bc = uac et a(1 − uc) = 0. Puisque
l’anneau A est intègre, on a (1 − uc) = 0, ce qui signifie que c est inversible. Si
c’est c qui appartient à (a), le même raisonnement montre que b est inversible.
Attention. La réciproque est fausse (cf. exercice VIII.15 ci-dessous). Cependant, voir la remarque VIII.7.4 ci-dessous.
Exercice VIII.15. Soient K un corps et A le sous-anneau de K[X, Y ] formé des
polynômes dont le degré total est pair. Montrer que l’élément XY est irréductible
dans A, mais pas premier.
Proposition VIII.7.2. Soient A un anneau intègre et a = 0 un élément de A.
(i) Si l’idéal (a) est maximal, l’élément a est irréductible.
(ii) Si A est principal et si a est irréductible, l’idéal (a) est maximal.
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