Chapitre VIII. Anneaux de polynômes
Remarque VIII.7.2. Une démonstration analogue à celle du théorème VIII.7.1
montre que l’anneau Z est principal. L’exercice VIII.14 ci-dessus montre que la
propriété pour un anneau A d’être principal ne se transmet pas nécessairement à
l’anneau de polynômes A[X].
Nous allons montrer que les anneaux principaux satisfont une propriété de
« finitude ».
Nous allons d’abord établir un résultat général.
Théorème VIII.7.2. Soit E un ensemble ordonné ; les assertions suivantes sont
équivalentes :
(i) Toute famille non vide d’éléments de E admet un élément maximal
(ii) Toute suite croissante (x n ) n0 d’éléments de E est stationnaire.
Démonstration. Montrons que (i) implique (ii). Soient (x n ) n∈N une suite croissante
d’éléments de E et x q un élément maximal de l’ensemble {x n } n∈N . Pour n q,
on a x n x q , d’après la croissance de la suite, d’où x n = x q d’après la maximalité
de x q .
Montrons que (ii) implique (i). Supposons qu’il existe une famille non vide
F de E sans élément maximal. Alors, pour x ∈ F , l’ensemble des y ∈ F tels
que y > x est non vide. D’après l’axiome du choix (cf. appendice), il existe une
application f : F → F telle que, pour tout x ∈ F , f (x) > x. En fixant un élément
x 0 et en posant x 1 = f (x 0 ), . . . , x n+1 = f (x n ), on obtient une suite strictement
croissante. Elle ne peut donc être stationnaire.
Théorème VIII.7.3. Soit A un anneau principal.
(i) Toute suite croissante d’idéaux de A est stationnaire.
(ii) Toute partie non vide de l’ensemble des idéaux de A, ordonné par inclusion,
admet un élément maximal.
Démonstration. D’après le théorème (VIII.7.2), il suffit de démontrer l’assertion (i).
Soit (I n ) n∈N une suite croissante d’idéaux de A : alors I =
n∈N I n est un idéal
de A, d’où il existe a ∈ A tel que I = (a). Donc il existe m ∈ N tel que a ∈ I m .
Or, pour tout p m, on a I m ⊆ I p ⊆ I = (a) ⊆ I m . Ce qui signifie que la suite
(I n ) n∈N est stationnaire, à partir du rang m.
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Remarque VIII.7.2. Une démonstration analogue à celle du théorème VIII.7.1
montre que l’anneau Z est principal. L’exercice VIII.14 ci-dessus montre que la
propriété pour un anneau A d’être principal ne se transmet pas nécessairement à
l’anneau de polynômes A[X].
Nous allons montrer que les anneaux principaux satisfont une propriété de
« finitude ».
Nous allons d’abord établir un résultat général.
Théorème VIII.7.2. Soit E un ensemble ordonné ; les assertions suivantes sont
équivalentes :
(i) Toute famille non vide d’éléments de E admet un élément maximal
(ii) Toute suite croissante (x n ) n0 d’éléments de E est stationnaire.
Démonstration. Montrons que (i) implique (ii). Soient (x n ) n∈N une suite croissante
d’éléments de E et x q un élément maximal de l’ensemble {x n } n∈N . Pour n q,
on a x n x q , d’après la croissance de la suite, d’où x n = x q d’après la maximalité
de x q .
Montrons que (ii) implique (i). Supposons qu’il existe une famille non vide
F de E sans élément maximal. Alors, pour x ∈ F , l’ensemble des y ∈ F tels
que y > x est non vide. D’après l’axiome du choix (cf. appendice), il existe une
application f : F → F telle que, pour tout x ∈ F , f (x) > x. En fixant un élément
x 0 et en posant x 1 = f (x 0 ), . . . , x n+1 = f (x n ), on obtient une suite strictement
croissante. Elle ne peut donc être stationnaire.
Théorème VIII.7.3. Soit A un anneau principal.
(i) Toute suite croissante d’idéaux de A est stationnaire.
(ii) Toute partie non vide de l’ensemble des idéaux de A, ordonné par inclusion,
admet un élément maximal.
Démonstration. D’après le théorème (VIII.7.2), il suffit de démontrer l’assertion (i).
Soit (I n ) n∈N une suite croissante d’idéaux de A : alors I =
n∈N I n est un idéal
de A, d’où il existe a ∈ A tel que I = (a). Donc il existe m ∈ N tel que a ∈ I m .
Or, pour tout p m, on a I m ⊆ I p ⊆ I = (a) ⊆ I m . Ce qui signifie que la suite
(I n ) n∈N est stationnaire, à partir du rang m.
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