VIII.7. Anneaux principaux
Unicité : Supposons qu’il existe un autre couple (q , r ), avec deg(r ) < deg(g),
tel que f = gq + r . Alors g(q − q ) = r − r et, si r − r = 0, deg(q − q ) + deg(g) =
deg(r − r), ce qui est impossible. D’où r = r , ce qui entraîne q = q .
VIII.7. Anneaux principaux
Soient K un corps et I un idéal de K[X]. Si I = {0}, alors I est engendré par 0.
Supposons I = {0} et soit P un polynôme non nul appartenant à I et de degré
minimal pour cette propriété. Tout polynôme S ∈ I est tel que deg(S) deg(P )
et l’on peut faire la division euclidienne S = P Q + R. Le polynôme R appartient
à I, donc est nul par minimalité du degré de P . Par conséquent, S est un multiple
de P , autrement dit, I = (P ).
Cette propriété conduit à la notion d’anneau principal.
Définitions VIII.7.1.
a) Soient A un anneau et I un idéal de A. On dit que I est principal s’il
est engendré par un élément (i.e. ∃ a ∈ A tel que I = (a)).
b) Un anneau A est principal s’il est intègre et si tout idéal de A est
principal.
La discussion précédente montre le résultat fondamental suivant :
Théorème VIII.7.1. Si K est un corps, l’anneau de polynômes K[X] est principal.
Remarques importantes VIII.7.1.
a) Si l’élément a ∈ A est inversible, alors aa −1 = 1 ∈ (a) et, d’après la
remarque VIII.2.1.b, (a) = A.
b) Dans un anneau intègre, (a) = (a ) est équivalent à a = ua avec u élément
inversible de A. En effet, si (a) = (a ), il existe u ∈ A et v ∈ A tels que a = ua
et a = va : on a donc a = uva , d’où a (1 − uv) = 0 et, puisque l’anneau A est
intègre, uv = 1. Si a = ua, alors (a ) ⊂ (a). Si u est inversible, on a a = u −1 a ,
d’où (a) ⊂ (a ).
Autrement dit, dans un anneau principal, les générateurs d’un idéal quelconque sont « égaux à un élément inversible près ».
Exercice VIII.14. Montrer que l’anneau Z[X] n’est pas principal. (Considérer
l’idéal de Z[X] engendré par 2 et X.)
205
Unicité : Supposons qu’il existe un autre couple (q , r ), avec deg(r ) < deg(g),
tel que f = gq + r . Alors g(q − q ) = r − r et, si r − r = 0, deg(q − q ) + deg(g) =
deg(r − r), ce qui est impossible. D’où r = r , ce qui entraîne q = q .
VIII.7. Anneaux principaux
Soient K un corps et I un idéal de K[X]. Si I = {0}, alors I est engendré par 0.
Supposons I = {0} et soit P un polynôme non nul appartenant à I et de degré
minimal pour cette propriété. Tout polynôme S ∈ I est tel que deg(S) deg(P )
et l’on peut faire la division euclidienne S = P Q + R. Le polynôme R appartient
à I, donc est nul par minimalité du degré de P . Par conséquent, S est un multiple
de P , autrement dit, I = (P ).
Cette propriété conduit à la notion d’anneau principal.
Définitions VIII.7.1.
a) Soient A un anneau et I un idéal de A. On dit que I est principal s’il
est engendré par un élément (i.e. ∃ a ∈ A tel que I = (a)).
b) Un anneau A est principal s’il est intègre et si tout idéal de A est
principal.
La discussion précédente montre le résultat fondamental suivant :
Théorème VIII.7.1. Si K est un corps, l’anneau de polynômes K[X] est principal.
Remarques importantes VIII.7.1.
a) Si l’élément a ∈ A est inversible, alors aa −1 = 1 ∈ (a) et, d’après la
remarque VIII.2.1.b, (a) = A.
b) Dans un anneau intègre, (a) = (a ) est équivalent à a = ua avec u élément
inversible de A. En effet, si (a) = (a ), il existe u ∈ A et v ∈ A tels que a = ua
et a = va : on a donc a = uva , d’où a (1 − uv) = 0 et, puisque l’anneau A est
intègre, uv = 1. Si a = ua, alors (a ) ⊂ (a). Si u est inversible, on a a = u −1 a ,
d’où (a) ⊂ (a ).
Autrement dit, dans un anneau principal, les générateurs d’un idéal quelconque sont « égaux à un élément inversible près ».
Exercice VIII.14. Montrer que l’anneau Z[X] n’est pas principal. (Considérer
l’idéal de Z[X] engendré par 2 et X.)
205