Chapitre VIII. Anneaux de polynômes
où a i (resp. b i ) est nul si le monôme X
i 1
1 . . . X in
n n’apparaît pas dans f (resp. g),
et
f g =
h
c h X
h 1
1 . . . X
hn
n , c h =
i+j=h
a i b j .
On a donc
ψ(f + g) =
i
ϕ(a i + b i ) y
i 1
1 . . . y
in
n =
i
ϕ(a i ) y
i 1
1 . . . y
in
n +
i
ϕ(b i ) y
i 1
1 . . . y
in
n = ψ(f ) + ψ(g).
D’autre part,
ψ(f g) =
h
ϕ(c h ) y
h 1
1 . . . y
hn
n ,
mais
ϕ(c h ) =
i+j=h
ϕ(a i )ϕ(b j ),
d’où
ψ(f g) =
h
⎛
⎝
i+j=h
ϕ(a i )ϕ(b j )
⎞
⎠ y
h 1
1 . . . y
hn
n =
⎛
⎝
i
ϕ(a i )y
i 1
1 . . . y
in
n
⎞
⎠
⎛
⎝
j
ϕ(b j ) y
j 1
1 . . . y
jn
n
⎞
⎠ = ψ(f )ψ(g).
Théorème VIII.6.2 (division euclidienne). Soient A un anneau intègre et f , g deux
éléments de l’anneau A[X]. On suppose que le coefficient dominant de g est un
élément inversible de A. Alors, il existe un couple unique (q, r) ∈ A[X] × A[X] tel
que f = gq + r et deg(r) < deg(g).
Démonstration. Existence : On pose m = deg(f ) et deg(g) = n. Si m < n, le couple
(0, f) répond à la question. Si m = n, c’est évident. On suppose que m > n et
le résultat est vrai pour m − 1. On peut écrire f = bX m + . . . et g = aX n + . . .,
alors af − bX (m−n) g est de degré inférieur ou égal à m − 1 et, par hypothèse de
récurrence, il existe un couple (q 1 , r 1 ), avec deg(r 1 ) < deg(g), tel que
af − bX
m−n g = gq 1 + r 1 .
D’où
f = a
−1 (bX
m−n + q 1 )g + a
−1 r 1 ,
ce qui est l’égalité cherchée, avec q = a −1 (bX m−n + q 1 ) et r = a −1 r 1 .
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