VIII.6. Anneaux de polynômes
Remarque VIII.6.1. Si on a 1 m < n, on peut identifier P m (A) à un sous-anneau
de P n (A), en identifiant N m à l’ensemble des éléments de N n dont les (n − m)
dernières composantes sont nulles. Ceci permet d’identifier
A[X 1 , . . . , X n ] et A[X 1 , . . . , X m ][X m+1 , . . . , X n ].
En particulier, en écrivant A[X 1 , . . . , X n ] = A[X 1 , . . . , X n−1 ][X n ], une récurrence
évidente montre que si une propriété P, vérifiée par un anneau A, est également
vérifiée par l’anneau A[X], alors cette propriété P est aussi vérifiée par l’anneau
A[X 1 , . . . , X n ], pour tout n 1.
Proposition VIII.6.3. Si l’anneau A est intègre, il en est de même de l’anneau
A[X 1 , . . . , X n ] et si f et g sont deux polynômes non nuls, le degré total de f g
est la somme des degrés totaux de f et g.
Remarque VIII.6.2. Si K est un corps, l’anneau K[X 1 , . . . , X n ] est intègre, donc,
d’après le théorème (VIII.5.1), il admet un corps de fractions, noté K(X 1 , . . . , X n ),
appelé corps des fractions rationnelles sur K en n indéterminées.
Théorème VIII.6.1 (propriété universelle de A[X 1 , . . . , X n ]). Soient A et B deux
anneaux, ϕ : A → B un morphisme d’anneaux et y 1 , . . . , y n des éléments de B. Il
existe un unique morphisme d’anneaux ψ : A[X 1 , . . . , X n ] → B tel que ψ |A = ϕ et
ψ(X i ) = y i , i = 1, . . . , n.
Démonstration. Tout élément f de A[X 1 , . . . , X n ] s’écrit de manière unique comme
somme d’un nombre fini de monômes distincts
f =
i
a i X
i 1
1 . . . X
in
n .
En posant
ψ(f ) =
i
φ(a i ) y
i 1
1 . . . y
in
n ,
on obtient une application ψ bien définie qui vérifie ψ |A = ϕ et, pour tout i,
ψ(X i ) = y i . Vérifions que ψ est un morphisme d’anneaux.
On a ψ(1) = ϕ(1) = 1. D’autre part, soient
f =
i
a i X
i 1
1 . . . X
in
n
et g =
j
b j X
j 1
1 . . . X
jn
n ,
alors
f + g =
i
(a i + b i ) X
i 1
1 . . . X
in
n
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