Chapitre VIII. Anneaux de polynômes
Définition VIII.6.1. Un polynôme non nul f est dit homogène de degré s, si
tous ses monômes a i X
i 1
1 . . . X in
n non nuls ont même degré |i| = s. Si f = 0, il
est homogène de degré −∞.
Proposition VIII.6.1. Si f et g sont deux polynômes homogènes et si f g = 0, alors
f g est homogène de degré total égal à la somme des degrés de f et g.
Démonstration. Les polynômes f et g étant homogènes de degré total respectif s
et t, ils s’écrivent
f =
i
a i X
i 1
1 . . . X
in
n , i 1 + . . . + i n = s
et
g =
j
b j X
j 1
1 . . . X
jn
n , j 1 + . . . + j n = t.
Si f g est non nul, il existe au moins un coefficient non nul
c h =
i+j=h
a i b j ,
et chacune de ces expressions non nulles est coefficient du monôme
c h X
i 1 +j 1
1
. . . X
in+jn
n
qui est de degré i 1 + j 1 + . . . + i n + j n = s + t, d’où le résultat.
Proposition VIII.6.2. Un polynôme f de A[X 1 , . . . , X n ], de degré total m, s’écrit de
façon unique comme une somme f = f 0 + f 1 + . . . + f m , où f s est soit nul, soit
homogène de degré s et où f m = 0.
Démonstration. Pour tout s, 0 s m, f s est la somme de tous les monômes de
degré s de f ; s’il n’y en a pas, on pose f s = 0. Puisque f est de degré total m,
on a f m = 0.
Corollaire VIII.6.1. Si f et g sont deux polynômes de A[X 1 , . . . , X n ], on a
deg(f g) deg(f ) + deg(g).
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